…。内容： はじめに グロタンディーク構成 復習と新しい記法 用語の問題：逆、相反、双対 標準双対化関手と反双対化コンビネータ 線形同型の亜群上の相反化関手と反相反化コンビネータ 線形同型の亜群とフレーム集合関手／コフレーム集合関手 フレーム集合関手からコフレーム集合関手への相反化自然同型 フレーム主等質集合とコフレーム主等質集合の相反性 それから 付録：この記事で使った記号・記法 はじめにこの記事は、シリーズ記事の4番目のものです。もともとは2つの記事で完結する予定でした。が…

…クス付き圏があれば、グロタンディーク構成〈Grothendieck construction〉ができます。インデックス付き圏のグロタンディーク構成については、次の記事とそこから参照されている記事を（必要なら）読んでみてください。 グロタンディーク構成と積分記号 グロタンディーク構成の例は、検索結果を眺めてください。 「グロタンディーク構成」のブログ内検索結果 さて、一般的な左主等質集合の圏 GenLeftPHS は、インデックス付き圏 LeftPHS[-]:Grp→CAT か…

…た。最近は、大文字小文字の対応をとって dim(M) = m, dim(N) = n とすることが多いのですが、徹底してません。[/追記] *2:[追記]多様体の圏Manの対象ごとに集合 Or(M) がくっついています。集合を離散圏（または余離散圏）とみなして、グロタンディーク構成で向き付き多様体の圏が作れるかというと、そうはいきません。写像により向きを引き戻すことができないのです。引き戻しが定義できる写像に制限するとうまくいきますが、でき上がる圏が小さすぎます。 [/追記]

…E) をもとにして、グロタンディーク構成によってコジュール接続の圏 KoszConnection を構成しました。そのとき、次のように書きました。 もうひとつ別な方法でも KoszConnection を構成したいですね。もちろん、ふたつの定義の同値性を期待しています（あー疲れる）。 以前とは別な方法でコジュール接続の圏を構成します。ただし、過去記事の時点で想定していたEP射（embedding と projection のペア）以外に、より一般的な射も使います。多様体Mに対…

…指標のパラメータ化とグロタンディーク構成 コジュール接続の圏 セクション空間関手がとても便利な理由 モノイド対象と単体的対象 これらの記事達の背後にある動機について書いておこうかな、でないと「なんだこれ？」になりそうだから。内容： シュバレー／アイレンベルク代数とシュバレー／アイレンベルク関手 リー亜代数 接バンドルのリー亜代数とド・ラーム複体 微分インフラとシュバレー／アイレンベルク関手 シュバレー／アイレンベルク関手の拡張 シュバレー／アイレンベルク関手が意味を失うとき …

…指標のパラメータ化とグロタンディーク構成」の最初のほうに、二項演算を'm'という記号で表した指標があります。 equation〈等式〉と書いてありながらイコール記号でなくて二重矢印を使っている理由は： 律子を省略しているので、正確にイコールではない。 1-射である演算〈operation〉を一重矢印、2-射である等式を二重矢印と揃えたかった。 上に挙げた指標は、一般的・総称的です。特定の圏ごとに具体化してみます。 集合圏において具体化 signature Monoid { s…

…ンデックス付き圏にはグロタンディーク構成（「グロタンディーク構成と積分記号」参照）ができるので、圏Cに対する被覆の圏〈category of covers〉 Cover(C) を次のように定義します。 インデックス付き圏 Cov[-]:C→CAT と、そのグロタンディーク平坦化である Cover(C) により、圏C上に被覆構造が与えられます。つまり、Cはサイトになります*2。巨大層へ前節の手順で、開射を持つ圏Cをサイトに仕立てることができます。圏Manに適切な開射（からなる部…

…ないかと（未確認）。グロタンディーク構成を何度も繰り返し使います。なんだか「指標のパラメータ化とグロタンディーク構成」と関係しそうな気がします。内容： コジュール接続 共変微分の空間 ベクトルバンドルとEPペアの圏 共変微分のインデックス付き圏とグロタンディーク構成 曲率 コジュール接続バンドルの「接続」には色々な種類があります。 接続の種類 接続を載せる対象物 定義の手段 エーレスマン接続 任意のバンドル 水平部分空間の分布 主接続 G-主バンドル Gのリー環に値を取る微分…

…背後にある枠組みは、グロタンディーク構成じゃなかろうか、と思います。内容： 用語と書き方の約束 指標の分割とパラメータ化／平坦化 意味論は？ 指標と相対指標の意味論 パラメータ付き指標の意味論 指標のパラメータ化の基本的な性質 型理論へ 用語と書き方の約束指標と仕様の区別は相変わらず決めてません。ここでは、「指標〈signature〉」という言葉だけを使い、指標に法則を書いてもいいとします。次は、法則も書いてあるモノイドの指標です。 signature Monoid { so…

…ク平坦化圏」は記事「グロタンディーク構成と積分記号」へのリンクとしました。一語修正が予告をするほどのことかと思うでしょうが、この一語修正は重要なんです。その説明を以下にします。E, F がベクトルバンドルだとして、ftot:Etop→Ftot と fbase:|E|→|F| の組 f = (ftot, fbase) がベクトルバンドル射であることは、次の図式が可換になることです。ベクトルバンドルとベクトルバンドル射から構成される圏を VectBundle とします。これはいい…

…関係が曖昧でした。「グロタンディーク構成と積分記号」で書いたように、グロタンディーク平坦化には次の種類があります。 インデックス付き圏の順方向平坦化 インデックス付き圏の逆方向平坦化 余インデックス付き圏の順方向平坦化 余インデックス付き圏の逆方向平坦化 そうすると、次の言い方は、どの平坦化を使っているか分からないので曖昧です。 インデックス付き圏 VectBdl[-] のグロタンディーク平坦化圏が VectBundle である。 どの平坦化を使うかはけっこう重要な問題で、ひ…

…Bdl[-] からのグロタンディーク構成で得られるファイバー付き圏は、Base:VectBundle→Man です。ここで、Baseはベクトルバンドルにその底空間を対応させる関手です。今までの話で、ファイバーがベクトル空間であることは使ってないので、一般のファイバーバンドルでも同じです。 Bundle はファイバーバンドルの圏 Base:Bundle→Man が底空間関手から定義されるファイバー付き圏 Bdl[-] は、ファイバー付き圏に対応するインデックス付き圏 セクション…

…e を構成する方法（グロタンディーク構成）もありますが、今は触れません。バンドルチャートとバンドルアトラスファイバーバンドル (E, B, F, π) の定義には局所自明性が含まれます。局所自明性で述べられている同型 E|U→U×F を局所自明化〈local trivialization〉と呼びます。(E|U, U, F, π|U) はファイバーバンドルになり、(U×F, U, F, π1) もファイバーバンドルなので、局所自明化は、(E|U, U, F, π|U)→(U×F…

グロタンディーク構成はやたらに出てきますね。グロタンディーク構成に関わる記法をここで決めておきたいと思います。[追記 date="2019-05-16"]この記事内に出現する「ファイバー付き圏〈fibered category〉」の一部は「反ファイバー付き圏〈opfibered category〉」（「余ファイバー付き圏〈cofibered category〉」ともいう）にすべきです。余インデックス付き圏〈coindexed category〉から作られたファイブレーションは…

…T *3が作れれば、グロタンディーク構成〈Grothendieck construction〉（「インデックス付き圏のグロタンディーク構成」参照）を行って、ファイバー付き圏〈fibered category〉（圏のファイブレーション、「14年ぶりにファイバー付き圏」参照）を作れます。次の書き方をすることにします。 C-Presheaf*→B ： インデックス付き圏から作られた、前層のファイバー付き圏。 C-Presheaf*→B ： 余インデックス付き圏から作られた、前層のフ…

…付き圏ではお馴染みのグロタンディーク構成の拡張版です。この辺のことを知るには、今から14年前に紹介したことがあるアンジェロ・ヴィストリのテキスト（解説論文）を拾い読みするといいかもしれません。 Title: Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory Author: Angelo Vistoli Pages: 114p URL: https://arxiv.org/abs/ma…

…タンディーク平坦化〈グロタンディーク構成〉をしてみるのが定石です。グロタンディーク構成に関しては、次の記事に書いてあります。 インデックス付き圏のグロタンディーク構成 Iop→Cat がインデックス付き圏のとき、f:i→j in I に対して (i, A)→(j, B) （i, j∈|I|, A∈|F(i)|, B∈|F(j)|）という射をどう定義するか？ 2種類の向きがあります。余インデックス付き圏でも向きが2種類あります。合計で4種類の平坦化があります。 構成の材料 構成…

…タンディーク平坦化〈グロタンディーク構成〉。 1MndAlg(K) ： K内のモナドとそのあいだの代数的準同型射からなる圏。1MndAlg(K) := Flatten(MndOn(K)[-]) と定義する。 1MndEM(K) ： K内のモナドとそのあいだのアイレンベルク／ムーア型の準同型射からなる1-圏。アイレンベルク／ムーア型の準同型射については、"クリメン／ソリヴェレス 2010"参照。 1MndKl(K) ： K内のモナドとそのあいだのクライスリ型の準同型射からなる1…

…nd/coend〉とグロタンディーク構成〈Grothendieck construction〉の創始者でもあるんですよね。エンド／コエンドに関しては、ロアギアンロージエン論文から引用します。強調（太字＋下線）は檜山。 Title: This is the (co)end, my only (co)friend Author: Fosco Loregian Pages: 84p URL: https://arxiv.org/abs/1501.02503 The original…

…インデックス付き圏のグロタンディーク構成 また、次の記事はこの節の内容に近いです。 ホーア論理の圏論的な定式化 さて、集合Xにその上の述語の全体Pred[X]を対応させる関手は、実質的に反変ベキ集合関手Pow*と同じものですが、Pred[X]は圏だと解釈します。集合Xごとに圏がくっついているような構造ですね。改めて、インデックス付き圏としてのPredを定義しましょう。まず、集合圏の部分圏Bを定めます。このBをベース圏（base category）と呼びます。集合圏の特定された…

…インデックス付き圏のグロタンディーク構成」を参照）。インデックス付き圏AutomH[-]をグロタンディーク平坦化した圏をAUTOMHとしましょう。圏をAUTOMH は次のように記述できます。 AUTOMHの対象は、AutomH[S]の対象をSを動かしながらすべて直和で寄せ集めたもの。|AUTOMH| = ΣS∈SETχAutomH[S] と書けます。 A∈AutomH[S] から B∈AutomH[T] への射は、ブール行列 α:S→T と、A→αB in AutomH[S]…

…も理由があることで、グロタンディーク構成／グロタンディーク・ファイブレーションはやっぱり使うのですよ。ファイブレーション界隈も用語がけっこう乱れているので、調べて整理しようと、Wikipedia項目 http://en.wikipedia.org/wiki/Fibred_category とnLabの http://ncatlab.org/nlab/show/Grothendieck+fibration を見比べたりました。まず、英語の綴りがfibreとfiberがあるんです…

…るいは他の著作物でもグロタンディーク構成はしょっちゅう出てきます。 Databases are categories (http://math.mit.edu/~dspivak/informatics/talks/galois.pdf) Databases are Categories II (http://math.mit.edu/~dspivak/informatics/talks/refinements_and_extensions.pdf) 実際にグロタンディーク構成…

…向グラフの圏の拡張 グロタンディーク構成による表示の圏の再現 インスティチューションの構成 関手モデルとインスティチューションの同値性 言葉と記号の約束Catは、小さい圏と関手からなる圏です。Graphは、有向グラフとグラフの準同型写像からなる圏です。グラフの準同型写像とは、頂点を頂点に、辺を辺に移す写像。有向グラフGから作られた自由圏を FreeCat(G)、小さい圏Cから圏の演算を忘れた有向グラフを Graph(C) とします。Graph(-) は忘却関手ですね。一般に、…

…インデックス付き圏のグロタンディーク構成（平坦化） ∫(s∈Sch | [s, C]) をInstと書きます。Instはすべてのインスタンスからなる圏で、その射はスキーマ射と（同一スキーマ上の）インスタンスの射の組み合わせです。Instはグロタンディーク構成に伴う標準的な射影を持ちます。この射影を Sch:Inst→Sch とします。インスタンスFに対して、Sch(F) はFのスキーマであり、Sch(f:F→G) は、インスタンスのあいだの射fのスキーマ部分（schema p…

…ント圏Cを決めると、グロタンディーク構成により圏のファイブレーション ∫(s∈Sch | [s, C]) → Sch ができるのでした。以下、平坦化された圏 ∫(s∈Sch | [s, C]) を単にInstと書くことにします。Instの対象は、スキーマSとその上のインスタンス F:S→C の組 (S, F) です。Instの射 (S, F)→(T, G) は、スキーマ射（関手）σ:S→T と自然変換 α:F⇒σ*(G) の組です（「インデックス付き圏のグロタンディーク構成」…

…出てきたらとりあえずグロタンディーク構成。この場合は、特定のスキーマ上じゃなくて、すべてのスキーマに渡ってインスタンスを寄せ集めた圏が構成できます。実は、InstC[-] = [-, C] のCが必ずしも小さくない（例：C = Set）なので、サイズの問題があるのですが、気にしないことにしましょう。一般に、H:D→C がインデックス付き圏のとき、そのグロタンディーク平坦化を積分記号を使って ∫(x∈D | H[x]) と書くことにします*3。“積分変数”xは、対象も射も表すも…

…ックス付き圏に対するグロタンディーク構成が適用できて、その結果が要素の圏（category of elements）です。関手Dの要素の圏を el(D) と書いて、それに伴うファイブレーションを el(D)→C とします。スピヴァックは、el(D)→C が「ある“普遍的な”ファイブレーションのDによる引き戻し」で得られることを注意しています。これは、上記のnLab記事にも書いてある事実の引用にすぎないですけどね。ここで出てきた“普遍的な”ファイブレーションとは、Set●→Se…

…ファイブレーション、グロタンディーク構成、前層／層、トポス、インスティチューションなどが含まれます。実際スピヴァックは、これらの道具を縦横無尽に使って実際的な結果を出しつつあります。そして： Moreover, one may hope to leverage existing mathematical theory to their own database issues through this connection.さらには、あなた自身のデータベースに関する問題を、この…

…けたとき、とりあえずグロタンディーク構成（Grothendieck construction）をしてみると、なんか面白いことがあるかも知れません（いつも面白いとは保証しませんが）。例えば、圏Cから圏Setへの関手 F:C→Set があると、集合を離散圏とみなせば、Fは C→Cat となるのでインデックス付き圏となります（反変・共変の差は無視）。このインデックス付き圏にグロタンディーク構成を施すと要素の圏（category of elements）が得られます。以下で、反変ベキ…