…ば： モノイド関手／ラックス・モノイド関手とその実例 // マッカーディのストライプ図 ストリング図とストライプ図 関手に限らず、圏論的コンストラクタ／オペレーターをボックスで表すことができます。モナドを拡張スタイルで定義するときの拡張オペレーター〈クライスリ・オペレーター〉をボックスで描いた例は次の記事にあります。 絵算で見る、拡張スタイルのモナドとモノイド・スタイルのモナド そもそも、コンストラクタやオペレーター（コンビネータとも呼ぶ）が何であるかは次の記事を見てください…

…- 「モノイド関手／ラックス・モノイド関手とその実例 // マッカーディのストライプ図」に説明があります。射のプロファイルとin記法もよく使うので、必要があれば次も参照してください。 前層の圏における記法と計算 // プロファイリングとin記法 モノイド・スタイルのモナドの定義テキスト記法は図式順記法を使うので、必要があれば演算子記号の一覧表を確認してください。 関手と自然変換の計算に出てくる演算子記号とか // 今後使う予定の演算子記号 モノイド・スタイルのモナドを (F,…

…図式思考の例として、ラックス・モノイド関手について考えてみる // ストリング図とストライプ図 テキストへの翻訳コミュニケーションの都合で、絵図をテキストに翻訳する必要が生じます。一例をやってみましょう。上の図で、目ぼしいノードはαとηなので、これらのノードを横に切る補助線（赤い点線）を引いて、ラベルの2次元的配置を取り出します。この2次元配置〈行列〉に演算子記号を入れて1次元に押し込めて、左右の順番も入れ替えましょう。[補足][追記] 最後の結果 がコンパクトなのは、絵が持…

…図式思考の例として、ラックス・モノイド関手について考えてみる」参照）。こういう定式化も、ローヴェアの代数セオリーの理論を踏襲しています。ローヴェア流なんです。スピヴァックのデータベース理論もローヴェア流です。結果的に、スピヴァックとフォングの理論構成はとても似ています。そして、スピヴァックとフォングは、MITのオンラインコース"Applied Category Theory"を一緒に担当しています。集合圏Setはマルコフ圏なので、因果モデル を考えることができます。因果モデル…

…、反転、ハッシュ積 ラックス・モノイド関手としての指標群 密度に対する演算：乗法とハッシュ積 それから 生存確認／安否情報 用語法・記法の修正命名法〈nomenclature | ノーメンクレイチャ〉や記号の規則〈notational {convension | rules}〉が安定してないトピックについて述べるときは、的確な用語法・記法の選択は難しいですね。前回記事の用語法・記法も、続きの話をする上ではマズイところがあるので修正します。R上の有限次元ベクトル空間の圏を単にV…

…図式思考の例として、ラックス・モノイド関手について考えてみる // ストリング図とストライプ図」の続きです。内容： 自然変換ストリング図と関手ストリング図 ストリング図書き換え ストライプ図 自然変換ストリング図と関手ストリング図単に「ストリング図」と言ってきましたが、二種類のストリング図が登場してましたね。「自然変換、関手、圏」を表すストリング図を自然変換ストリング図〈natural transformation string diagram〉、「関手、圏」を表すストリング…

…なります。ここでは、ラックス・モノイド関手の結合律と単位律を例にして、高次元の圏的構造〈higher dimensional categorical structure〉の絵図表現〈{pictorial | diagrammatic | graphical} {presentation | representation}〉を紹介します。また、本文と独立に読める付録として、ストリング図とストライプ図の関係を説明します。内容： ラックス・モノイド関手 ストリング図書き換え ラック…

…す。 モノイド関手／ラックス・モノイド関手とその実例 ラックス・モノイド関手について、もうちょっと 次の記事は、インデックス付き圏の拡張としてのラックス関手についてです。 インデックス付き圏を拡張してファイバー付き圏へ ラックス関手という概念は、通常の関手（1-圏のあいだの1-関手）とはだいぶ違います。2つの双圏のあいだの対応というよりは、2つの双圏をもとにして作られたモノイド類似代数構造と捉えたほうがいいでしょう。3-圏のホム2-圏圏の2-圏 Cat において、Cat(C,…

…況での前層／余前層 ラックス・モノイド余前層としてのフィルター それで？ フィルターフィルターについては、Wikipedia項目「フィルター」などを参照してください。特に、「冪集合の上のフィルター」を話題にします。集合Xのベキ集合〈powerset | 冪集合〉Pow(X)は、包含順序'⊆'により順序集合になります。また、部分集合の共通部分を取る演算'∩'を持ちます。Pow(X)の部分集合、つまりXの部分集合の族がフィルター〈filter〉だとは、次の条件を満たすことです。 …

…い。 モノイド関手／ラックス・モノイド関手とその実例 // マッカーディのストライプ図 ストライプ図は、もともとはモノイド圏のあいだのモノイド関手を描くための図法ですが、2-圏／2-関手に対しても使えます。次の対応を心に留めておくと分かりやすいでしょう。 一般の2-圏 2-圏とみなした圏 モノイド圏 0-射 対象 ダミー元 1-射 射 対象 2-射 射の等号 射 1-射の結合 射の結合 対象のモノイド積 2-射の縦結合 等式の推移律 射の結合 2-射の横結合 等式と結合の関係…

…がモナド本来の生態が観察できる気がします。関連する記事： ラックス・モノイド関手について、もうちょっと モナド論をヒントに圏論をする（弱2-圏の割と詳しい説明付き） 弱2-圏内のモナドに関する補足：モナドが作る2-圏の多様性 高次圏： 用語法と文脈（主に2次元） 新しい絵算手法：ストリング＋ストライプ図 *1:[追記]「ラックス2-」という形容詞にそれほど意味がわるわけではない（語呂を揃えるため）ので、「0-変換手」と「1-変換手」のほうが良い呼び名かも知れません。[/追記]

…手 強モノイド関手 ラックス・モノイド関手 用語法B 厳密モノイド関手 モノイド関手 弱モノイド関手 用語法C 厳密モノイド関手 タイト・モノイド関手 ラックス・モノイド関手 用語法Aの強モノイド関手は、「テンソル強度を保存するモノイド関手」と言葉が競合してしまうし、用語法Bはデフォルト・ルールに頼るのがよろしくない。で、僕は用語法Cを使っています。「タイト←→ラックス」がまーまーバランスいいし、厳密〈strict〉はタイト〈tight〉よりもっときびしい感じがするでしょ（た…

…な定式化は、おそらくラックス・モノイド関手*4でしょう。ラックス・モノイド関手については次の記事を参照してください。 モノイド関手／ラックス・モノイド関手とその実例 ラックス・モノイド関手について、もうちょっと Catを“小さい圏の圏”として、C∈|Cat| に対して F(C) := [C, Set] とします。Cが小さくても関手圏[C, Set]が小さいとは限りません（つうか、大きくなります）。F:C→D in Cat に対して、F(F):F(D)→F(C) in CAT …

…「基礎的な部分」にはラックス・モノイド関手の理論がありそうです。ラックス・モノイド関手の定義と簡単な性質は次で述べています。 モノイド関手／ラックス・モノイド関手とその実例 ラックス・モノイド関手について、もうちょっと ラックス・モノイド関手の概念を使って、モノイド圏／対称モノイド圏のテンソル積の定義（公理的条件付け）ができるかも知れません。定義ができても構成（存在証明）ができるとは限りませんが、とりあえずは問題（課題）を記述しないと始まりません。「モノイド圏／対称モノイド圏…

… ラックス2-関手 ラックス・モノイド関手 反ラックス関手 反ラックス2-関手 反ラックス・モノイド関手 2-圏には、対象と射以外に2次元の構成素がありますが、これは2-射と呼ぶことにします。2-セル、または単にセルと呼ぶこともありますが、基本的な（生成元となる）2-射を2-セルと呼ぶこともあるので、今回は用語「2-射」を採用します。0-射は対象、1-射は通常の射のことです。2-圏と2-関手の図示法弱2-圏はモノイド圏の拡張であり、モノイド圏は弱2-圏の特殊ケースです。このた…

…と呼ぶことが多い） ラックス・モノイド関手（lax monoidal functor） 反ラックス・モノイド関手（oplax monoidal functor, ラックス・余モノイド関手（lax comonoidal functor）とも呼ぶ） 最近僕は、強モノイド関手の代わりにタイト・モノイド関手と呼んでいます。形容詞「強」は他で使われるので重複や混乱を避けたいからです。モノイド圏と各種のモノイド関手については、次の記事を参照してください。 モノイド関手／ラックス・モノイド…

…注意してください。）ラックス・モノイド関手については、次の記事で書きました。 モノイド関手／ラックス・モノイド関手とその実例 ラックス・モノイド関手に関する次の2つの定理は、ラックス・モノイド関手の定義からすぐに出ます。 2つのラックス・モノイド関手を結合すると、またラックス・モノイド関手になる。 単一対象と恒等射だけからなる自明圏からのラックス・モノイド関手は、モノイドと同じである。 2番めの定理は次の記事で述べています。 ラックス・モノイド関手について、もうちょっと Cと…

…す。 モノイド関手／ラックス・モノイド関手とその実例 ラックス・モノイド関手について、もうちょっと モノイド圏と加群圏に関するフォークロアとマックレーン五角形・三角形 この記事でもモノイド関手の復習をします。なお、この記事は、「自然演繹の再構築への道」で述べた計画の一環です。内容： 各種のモノイド関手の呼び名 ストライプ図の復習 状況設定 モノイド自然変換 モノイド同値関手 各種のモノイド関手の呼び名モノイド関手にはいくつかの種類があります。単に形容詞なしで「モノイド関手」と…

…す。 モノイド関手／ラックス・モノイド関手とその実例 ラックス・モノイド関手について、もうちょっと ここでは、用語と記法を確認するだけにします。二項関手 H:C×D→D からの関手カリー化により、高階関手 Φ:C→End(D) が得られました。HとΦの関係は、大雑把に言えば、Φ(A)(X) := H(A, X) = AX です。Cにはモノイド構造 (C, , I)、End(D)にもモノイド構造 (End(C), , Id) があります（は反図式順結合、IdはDの恒等関手）。こ…

「モノイド関手／ラックス・モノイド関手とその実例」 今日の話はここまでにしておきますが、モノイド関手／ラックス・モノイド関手の定義からすぐ出るようなことでもけっこう面白い話題があるので、補足を書くかも。 補足を書きます。内容： ラックス・モノイド関手はモノイド類似構造 自明なモノイド圏からのラックス・モノイド関手 多元環と相対多元環 二対象モノイド圏からのラックス・モノイド関手 ラックス・モノイド関手の一般化 ラックス・モノイド関手はモノイド類似構造CとDをモノイド圏（mon…

… functor）やラックス・モノイド関手（lax monoidal functor）があります。その定義と幾つかの実例を挙げます。この記事のもともとの動機は、“直積をモノイド積とした集合の圏 (Set, ×, 1)”と“直積をモノイド積とした付点集合（pointed set）の圏 (PtSet, ×, 1)”のあいだの付点関手（{point adding|point augmentation} functor）を紹介することです。付点関手の性質を説明するための予備知識として…