…る等式（2つある）はニョロニョロ法則3-射〈snake law 3-morphism〉です。3-射とは、2-射のあいだの等式のことです。随伴系をストリング図とストリング図描き換えとして表すと次のようです。 0-射は、バッテン（文字エックスではなくてエリア） 1-射は、ワイヤー 恒等1-射は、黒点線ワイヤー 2-射は、ノード 恒等2-射は、黒点線輪郭のノード 3-射は、ストリング図の描き換え〈変形〉 「アドホック随伴系と自由対象・台対象」に、ペースティング図と指標もあります。随…

…随伴ペアと同じ等式（ニョロニョロ関係式）を満たすことです。圏同値は、可逆な単位／余単位を持つ随伴系ですから。（以下のアスタリスクは、関手の図式順結合記号。）$`\quad \eta :: R_X * S_X \twoto \mrm{Id}_{\cat{S}/X} : \cat{S}/X \to \cat{S}/X \In {\bf CAT}\\ \quad \varepsilon :: \mrm{Id}_{\cat{S}^X} \twoto S_X * R_X : \cat{…

…的法則〈公理〉であるニョロニョロ法則〈snake {law | relation | equation | identity}〉を満たすことも簡単に示せます。さらに、随伴系達は横結合で圏になります。恒等は次の自明な随伴系です。$`\quad \msc{I}_A := \big(\, (\mrm{id}_A:A \to A) \dashv (\mrm{id}_A : A \to A) \text{ by }\mrm{Id}_{\mrm{id}_A}, \mrm{Id}_{\mr…

…ストレッチングを実行すればいいわけです。もとの左カン拡張の普遍性（ラムダ計算のベータ等式に相当）で $`K`$ のワイヤーがストレッチされ、随伴系のニョロニョロ等式で $`P, Q`$ のニョロニョロがストレッチされて $`\beta`$ だけが残るので、$`{^{\sqcap'}({_{\vee'} \beta})} = \beta`$ が示せます。$`{_{\vee'}({^{\sqcap'} \gamma})} = \gamma`$ もストリング図を眺めながら示せます。

…系が満たすべき法則はニョロニョロ法則〈snake {law | relation | equation | identity}〉です。象形文字を使って書くと次のようです。$`\quad ({_f \cap _g} * \mrm{I}_f) ; (\mrm{I}_f * {^g \cup ^f}) = \mrm{I}_f \In \cat{K}\\ \quad (\mrm{I}_g * {_f \cap _g} ) ; ({^g \cup ^f} * \mrm{I}_g) = …

…{ID}_G`$ （ニョロニョロ関係式〈snake {relation | equation | identity} 〉） これで、代数的な随伴系は定義されます。このテの定義を書くとき毎回思うことが、「名前（割り当てる記号と用語）が邪魔だなー」「名前を決めるのが嫌だな、決めたくないなー」。なぜかと言うと、抽象的構造は確定的でも、名前は恣意的に変動してしまうからです。実際、以下は別なタイミングで記述した代数的な随伴系の定義です -- 色付きLaTeX（MathJax）で書いたも…

…{ID}_G`$ （ニョロニョロ関係式〈snake {relation | equation | identity} 〉） これら一式は、次のような絵〈ストリング図〉に描けます。描画方向は上から下、左から右です。[追記] 随伴系の2-指標を、色付きのテキスト／ペースティング図／ストリング図で描いたことがあったのを思い出しました。 随伴系の2-指標 [/追記]絵のレイアウトと描画方向（左から右）にあわせるために、演算子記号は図式順を使います（「関手と自然変換の計算に出てくる演算…

…y with duals〉を要求します。コーナーの種類が8種あると、次のようなワイヤー・ベンディング（180度の曲がり）を作れます。縦方向下向きのコーナーだけだと、上段のベンディングしか作れません。それだと、双対性（ニョロニョロ関係式）の半分しか記述できません。もとにするモノイド圏が持っている構造や性質、埋め込み先（として構成する）コーナリング圏の構造や性質により、諸々の状況が変化します。この変化を観察することにより、各種モノイド圏のあいだの親族的関連性も見えてくるでしょう。

…p`$ が消えるのはニョロニョロ関係式〈snake {relation | equation | identity} 〉からです。コンパクト閉圏は、規準的なトレース・オペレーターを持ちます。このトレース・オペレーターも、単位／余単位を使って書けます。$`\For A, B, X \in |\cat{C}|\\ \:\\ \Declare \mrm{Tr}^X_{A,B}:\cat{C}(A\otimes X, B \otimes X) \to \cat{C}(A, B)\\ …

…x, x')`$次のニョロニョロ関係式〈snake {relation | equation | identity} 〉が成立します。$`\quad (\wedge_X \otimes \I_X)\C (\I_X \otimes \vee_X) = \I_X\\ \quad (\I_X \otimes \wedge_X )\C (\vee_X \otimes \I_X) = \I_X `$*1ニョロニョロ関係式の証明は、クロネッカーのデルタの練習問題として適切です。$`\ve…

…s A\\ \quad \cup_A : A\otimes A^* \to I`$ベータ変換は、ニョロニョロ・ワイヤーの引き伸ばしとして自然に解釈できますし、テキスト表示との関係も素直に理解できます。一方、ハイパーグラフ図で同じベータ変換を描くと次のようです。ストリング図ほどの自然さ／素直さは感じられません。ハイパーグラフ図を使うときは、この記事で述べたような問題点に注意する必要があります。あるいは、ハイパーグラフ図は使わずにやっぱりストリング図にするという判断もあり得ます。

…nsorator〉 ニョロニョロ律 ニョロニョロ律子〈snakeorator | snakerator | gigzagerator〉 律子について初めて書いたのは2016年の次の記事です。 律子からカタストロフへ 最近だと、次の記事に説明があります。 両側アクテゴリーとその準同型射 // 律子＝法則射 律子の語尾は -or にするのがルールで、Yang-Baxterator〈ヤン／バクスター律子〉なんてのも見たことがあります。ネーミングルールはあるのですが、「法則〈律〉をゆ…

…き法則は、次の2つのニョロニョロ関係式〈snake {relation | equation | identity}〉です*3。随伴系の域と余域である圏も含めれば、随伴系は6つ組 です。随伴系を表すために、次のような記号の乱用をします。つまり： 随伴系とその左関手を同じ記号で表す（オーバーロード）。 随伴系の右関手は随伴系の名前にダッシュ〈プライム〉を付けた記号で表す。 随伴系の単位は の右肩に随伴系の名前を乗せた記号で表す。 随伴系の余単位は の右肩に随伴系の名前を乗せた記…

…erchangor ニョロニョロ法則 snakeorator 英語では語尾を'or'にするルールのようです。この'or'に相当する日本語として「律子〈りつし〉」を使ってきました。意味的に、律 ＝ 法則、子 ＝ 射 なので、次の正規表現の呼び名を許すことにします*1。 {律 | 法則}{子 | 射} 例えば、「律射」「法則子」でもかまいません。「法則射〈law morphism〉」が使いやすそうですね。法則射が満たすべき等式的法則（法則の法則）は一貫性条件〈coherence …

…の形になります。*1ニョロニョロ〈snaky〉が真っすぐ〈straight〉に伸ばせるよ、という命題がニョロニョロ関係式〈snake {relation | equation | identity} 〉です。随伴や双対と呼ばれる構造は、ニョロニョロ関係式で支配されています。 [/追記]関連する記事： ストリング図計算のコツと小技 マルコフ圏におけるテンソル計算の手順とコツ 続きの記事： ストリング図と相性が良いテンソル計算 2/2 ストリング図と相性が良いテンソル計算 1/2…

…す。線形代数におけるニョロニョロ関係式（「カッコイイけど使える線形代数とは？」参照）は次のように書けます。モノイド圏の構造同型射 をちゃんと考慮すれば次のようになります。ウーム。ニョロニョロな感じがしない(苦笑)。事例色々と不満や問題点はありますが、幾つかの等式を、前節の方法で書き下してみます。 反ラックス・モノイド関手の余乗法の自然性 としましょう。 が自然であることは次のように書けます。これは、なんとかストライプ図をイメージできるかな。 反ラックス・モノイド関手の余乗法の…

…随伴の単位／余単位とニョロニョロ関係式も必要ですけどね。2つのストリート随伴から、4つのモナド／コモナドが構成できます。 コモナド $`\stackrel{\rightarrow}{\mathfrak{E}}/{\bf Mnd}`$ モナド $`\stackrel{\leftarrow}{\mathfrak{E}}/{\bf Cmn}`$ モナド $`\stackrel{\leftarrow}{\mathfrak{M}}/{\bf Mnd}`$ コモナド $`\stackre…

…あることは、随伴系のニョロニョロ等式〈snake {equation | relation}〉から分かります。次に、上側比較関手 K:D → EM(T) を構成しましょう。上側比較関手は、圏 Resol(T) における終射（終対象への唯一の射）と言ってもいい（はず）です。EM(T) の対象はアイレンベルク／ムーア代数なので、それを A = (A, αA) in EM(T) と書くことにします。代数構造とその台対象（Cの対象）は区別します。ここで区別しない（記号の乱用をする）と…

…すね。[/追記] *3:充満部分圏は、ホムセットがめいっぱい太っている部分圏です。 *4:ニョロニョロ等式を満たす代数系としての随伴系からホムセット同型は導けます。逆に、可逆自然変換としてホムセット同型が与えられれば、そこから代数系としての随伴系を構成できます。 *5:同一の実体が2つ以上の顔〈役割〉を持つことは、日常では当たり前のことなんですが、なかなか難しいようです。セミナー補足資料として書いた記事に「「僕のおとうさん」と「お友達のおとうさん」 (C A4)」があります。

…ら下」の方向を採用しています。例えば、次の記事参照。 ラムダ計算の自然性とお絵描き モノイド閉圏： カリー化からニョロニョロまで ストリング図の読み書きは、下から上でも別にかまわない（さほど困らない）のですが、象形文字を「上から下」方向で決めているので、出来れば「上から下」を採用して欲しいのですよ。例えば、fの左カリー化は で右カリー化は です。ヤンキング（紐を引っ張って伸ばすこと）は次のように書けます。 「上から下」方向なら、ストリング図と象形文字記法がバッチリ一致します。

…f = f （一種のニョロニョロ等式）は、単位を使って次のようにも表せます。カップル化可能圏の公理である3つの法則は、絵等式では下のように描けます。 [結合公式] ∩(f;g) = ∩f;(idXg) [積公式] ∩(fg) = β;(∩f∩g);(idXσY,ZidZ) [可換律] ηX;σX,X = ηX タイトニング等式は下のようです。 [タイトニング等式] ∪(s;(idXg)) = ∪s;g カーブ・スライディング等式は次のようです。ここで、h† は、下側の等式を満…

…なることは、随伴系のニョロニョロ法則からすぐに出ます。f:A → M(B) に対して、f# := M(f);μB :M(A) → M(B) と定義すると、次の等式が成立します。 [外単位律] f:A → M(B) に対して、ηA;f# = f [内単位律] (ηA)# = idM(A) [入れ子律] f:A → M(B), g:B → M(C) に対して、(f;g#)# = f#;g# (-)# をモナドのクライスリ拡張〈Kleisli extension〉と呼びます。KlE…

…）演算が満たす法則はニョロニョロ法則です。ニョロニョロ法則については、次の記事とそこから参照されている他の記事を見てください。 カッコイイけど使える線形代数とは？ // ニョロニョロ線形代数 随伴系の定義を指標〈signature〉で書けば次のようになります。（[追記]下の f => f の部分が idA => idB と書いてありました。間違いです、訂正しました。g => g も同様。[/追記]） signature Adjunction { object A object…

…図的な意味があって、ニョロニョロを引き伸ばすことになります。「絵算の威力をお見せしよう」参照 *11:準ボレル空間の圏では、常に [X→Y] が作れるようです。 *12:積分記号を省略する書き方については「ライプニッツの微分記法とアインシュタインの総和規約を測度に使ってみる」参照。 *13:[追記]コルモゴロフの発音で噛んでしまうので、口頭では「チャップマン結合」でもいいとしましょう。[/追記] *14:フリッツ〈Tobias Fritz〉はSBorelStocをBorelS…

…記事として： 3Dでニョロニョロしたい： 随伴・双対・ガロア接続 これらの記事では出してなかった、ガロア接続の簡単な例を挙げます。簡単な事例を吟味することは、理解の助けになると思います。内容： 順序集合と圏 ミート ガロア接続ペア ニョロニョロ ジョインと随伴トリオ 順序集合と圏順序集合の言葉使いと圏論の言葉使いの対応（翻訳の手引き）は次のようです。 順序集合 A 圏 A 要素 a 対象 a 関係 a≦b 射 a→b 関係 a≦a （反射性） 恒等射 ida 関係の推移 射の…

…随伴系 -- つまりニョロニョロ等式を満たす2-圏的構造を構成してみます。内容： 随伴系の指標 指数随伴系 カリー化と反カリー化の対称性 二変数射と高階射 エバルとベータ変換等式 インスとイータ変換等式 随伴系の単位と余単位 ニョロニョロ等式 おわりに 随伴系の指標随伴系〈adjunction | adjoint system〉の指標を書いてみます。指標については「構造とその素材の書き表し方」を参照してください。 signature Adjunction in CAT { s…

…いに逆なのは、随伴のニョロニョロ関係式〈snake relation〉から明らかです。Nat(L*G, F*L':C→D') と Nat(G*R', R*F:D→C') のあいだでは、随伴系の単位・余単位を使ったメイト対応がうまく定義できないことが（やってみれば）分かります。随伴は完全な対称性は持ってないのですよね。ただし、（ストリング図で言えば）左右のワイヤーを交換するノードがあれば、メイト対応もどきが定義できるかも知れません（未確認）。互いにメイトである自然変換のペアをメ…

…でモナドなど 3Dでニョロニョロしたい： 随伴・双対・ガロア接続 順序随伴性： ガロア接続の圏論 記法バイアスと記法独立な把握： 順序随伴を例として 関係の圏 Rel 厳密2-圏としてのRelに関しては、「モナド論をヒントに圏論をする（弱2-圏の割と詳しい説明付き） // 2-圏の例 10選」を見てください。Aが集合、R:A→A がA上の（二項）関係で、R;R⊆R, ΔA⊆R （ΔA := {(x, y)∈A×A| x = y}）を満たすとき、RはA上のプレ順序関係（推移的・…

…で、法則として2つのニョロニョロ等式〈{snake | zigzag | zig-zag | triangle | triangular} {equation | identity | relation}〉を満たします。随伴系 X = (η, ε: F -| G, F:C→D) の構成素であるFをXの左関手、GをXの右関手と呼ぶことにします。これは、先に随伴系Xがあるときの呼び名です。随伴系 X = (η, ε: F -| G, F:C→D) が与えられている前提で、FはGの…

…る」のです。随伴系はニョロニョロ等式〈snake {equation | identity}〉で統制されます。2つの随伴系があるので、合計4つのニョロニョロ等式があり、それがデカルト構造に対する天空の支配者〈Ruler in the Sky〉になっています。天空のニョロニョロ等式から、それなりの作業を経ることにより、我々にお馴染みの等式／命題を得ることができます。f, h:1'→A, g, k:1'→B in Set に対して： <f, g>;π1 = f <f, g>;π2…