…す。η'とμ'を絵（ストリング図）で描けば：絵において、黒三角はモナドのηNで、黒丸は随伴のη, εとモナドのμです。圏D（を表す領域）をピンクに塗っています。N' = (N', η', μ') on C が結合律と左単位律、右単位律を満たすことは絵算を使えば簡単に示せます。VectK上のモナド Tens = (Tens, η, μ) をSet上に移動（引き戻し）する場合は： Tens' := FreeVect*Tens*U:Set→Set η' := η;(FreeVect…

…以下の記事は、圏論のストリング図の話として書いてますが、論理の横棒記法の図でも事情は同じです。図の描き換えの練習をしましょう。 双対や随伴に強くなるためのトレーニング カン拡張における上下左右： 入門の前に整理すべきこと // はじめに カン拡張のために、柱の絵を描く // 再び上下左右に関する注意 リーズニングの図示今は、シーケントの矢印に'→'を使っています。場合により、'→'が、'⇒', '|-', '|-?', '|⇒' なんかに変わるかも知れません。これらの区切り記…

…e Vicary に登場します。ニョロニョロ等式より難しくなります。 *8:それと、蛇の補題と紛らわしいので別な言葉を使っている、という理由もあります。 *9:画像： https://chicodeza.com/freeitems/hebi-illust.html より *10:随伴／双対をニョロニョロで定義しても、絵を使わない人もいます。エミリー・リエル〈Emily Riehl〉女史などは、絵（ストリング図）を使わない人です。 *11:ボブ・クック教授はミュージシャンです。

…み合わせたものです。ストリング図とストライプ図のハイブリッドなので、ベタにストリング＋ストライプ図〈string+stripe diagram〉と呼んでます。メインはストライプ図なので、ストリング図機能を取り込んだストライプ図とも言えます。内容： “モノイド圏の圏”における3つの方向 3次元見取り図 正面図：ストライプ図 側面図：ストリング図 例題のサワリ おわりに “モノイド圏の圏”における3つの方向2つのモノイド圏とそのあいだの関手を扱うと、射の結合の方向、モノイド積の方…

…は、フローチャートやストリング図が好きなのですが、絵図では、幾何的図形が構文的な対象となります。絵図はグラフ構造を持つので、頂点や辺に“意味”を対応させることが意味論となります。意味的対象物は、圏の対象や射になります。絵図もまた言語であるという話は「「コミュニケーションの多次元化」という革命に立ち会っているのだと思う」に書いています。上記のような、何らかの系〈system〉の構文論・意味論を、全体的・俯瞰的に定式化したいのです。この動機のもとで、どんな道具が使えるだろう？適切…

…、ペースティング図やストリング図は必須ですが、もっと“写実的”な描画法として、点と矢印が錯綜する空間内に描出される“柱”の絵を描いてみます。内容： 極限からカン拡張へ 再び上下左右に関する注意 錐と柱 錐の再分析 自然変換としての錐 柱の絵と定義 自然変換としての柱 底面を固定した柱の圏 おわりに 極限からカン拡張へ特にシリーズ記事とかにしませんが、関連する幾つかの記事達が、全体としてカン拡張の説明になればいいな、というゆるい計画はあります。それら関連する記事とは： 圏論の随…

…ティング図で、右側がストリング図、同じ内容を二種の図法で描いています（絵の後に説明続く）。まず、関手 K:C→D は最初に選んで固定します。このKにより定義される前結合関手〈{precompose | precomposition} functor〉をK*と書くことが多いです。K*は、ED→EC という関手です。つまり、G, H∈|ED| に対して K*(G), K*(H) を対応させ、β:G→H in ED には K*(β):K*(G)→ K*(H) in EC を対応させ…

…ロニョロ関係式を絵（ストリング図）で描けば次のようです。これらの公式は、絵（ストリング図）を使うと自然に解釈できますが、その話は次の機会にします。絵（ストリング図）で計算すれば楽です。絵算（pictorial/graphical/diagrammatic calculation）の話はいずれまとめてする予定です（今日はしない）。絵が描けるので、随伴系の計算は絵算（pictorial/graphical/diagrammatic calculation）に持ち込めます。ニョロニ…

…図式順で書くか？」「ストリング図の上下左右方向をどうするか？」などの過剰なバラエティ（あるいは混乱）が、圏論の学習を困難にしている要因のひとつだろう、という話は何度も何度も何度も書きました。最近の記事を2つだけ挙げれば： 記法バイアスと記法独立な把握： 順序随伴を例として 双対や随伴に強くなるためのトレーニング 上下左右をきちんと区別しないと話がワヤクチャになる典型的な例に、随伴〈adjoint, adjunction〉の定義があります。僕も「どっちが右だっけ？」「域だっけ、…

…irect.com/science/article/pii/002240498790137X *4:画像を含む元記事： https://www.irif.fr/~guiraud/exposes/tianjin.pdf *5:画像を含む元記事： https://www.irif.fr/~guiraud/exposes/tianjin.pdf *6:表記法と描画法の混乱ぶりは「絵算（ストリング図）における池袋駅問題の真相」を参照。 *7:等式的記述をしたい理由は他にもありますが。

… 2013年 絵算（ストリング図）における池袋駅問題の真相 （絵の描き方） 2014年 「余」と「双」の使い方がバラバラ 2016年2月 絵算の描画方向を示すために旗を使うことにした （絵の描き方） 2016年4月 関手と自然変換の計算に出てくる演算子記号とか （記号の使い方） 2016年7月 モノイド自然変換とモノイド同値関手 // 各種のモノイド関手の呼び名 2016年12月 モノイド圏の随伴性を“豊饒圏の圏”の随伴性に持ち上げる： 計画編 // 言葉と記号の約束 201…

…1, 2, 3次元のストリング図（ドット図、狭義のストリング図、サーフェイス図）の丁寧な説明があります。とても参考になります。 Title: Surface diagrams for gray-categories Authors: Benjamin Taylor Hummon Pages: 142p URL: http://escholarship.org/uc/item/5b24s9cc ワークスペースの管理などGlobularによる成果物や作業の状態は、ワークスペース（…

…式 縦書き不等式からストリング図へ 不等式の証明 記法バイアスと記法独立な把握 語彙、文法、記法マンガを読んだ経験がない人が初めてマンガを読もうとすると、読めないことがあるそうです。僕もある人に「どういう順番で読むの？」と聞かれたことがあります。コマを追えないのですね。マンガは、アニメーションのように連続的な動きはしないので、コマとコマのあいだの時間経過・状態遷移を読者側で補完する必要もあります。なかには、読者に高度な補完能力を要求する作品もあるようです（僕よく知らないのだけ…

…lation）で使うストリング図を描くときの方向の取り方が人によりバラバラだという話を何度かしています。 絵算（ストリング図）における池袋駅問題の真相 絵算のススメ 2015 年末版 絵算の描画方向を示すために旗を使うことにした 射や自然変換の方向（第一の方向）とモノイド積や関手の方向（第二の方向）を、それぞれ上下左右のどの向きにとるか？ ということが問題なんです。第一方向、第二方向の順で矢印を使って表すと、選択肢は全部で8種類あります。 ↓→ ↓← ↑→ ↑← →↓ ←↓ …

…]推論規則に対応するストリング図変形を挙げておきます。Δが空のときはフル・マルチ代入（full multi-substitution）といいます。 （フル・マルチ代入の条件: VarSet(Γ1), ..., VarSet(Γn) は、どの2つも共通部分が空（disjoint）でなくてはならない） 〈Γ1| E1〉:A1 ... 〈Γn| En〉:An 〈x1:A1, ..., xn:An| F〉:B -------------------------------------…

…ですが、複圏／多圏のストリング図も（次回に）載せます。本格的な意味論や絵算（pictorial/graphical/diagrammatic calculation）は展開しませんが、単なる構文解説だけよりは実感が増すと思います。今回 1/2 の内容： 予備知識と参考資料 大きなラムダ計算とは何か 概要と目標 集合と写像に関する基礎的事項 関数集合 関数オブジェクト 適用 写像の直積 デカルトペア 射影と成分 単元集合と廃棄写像 型システム 続く 次回 2/2 の内容： 疑似…

…ル計算（計算手順）とストリング図（指針策定）を使った方法を紹介します。内容的には“マルコフ・テンソルの圏”を扱うのですが、厳密な定義や根拠／背景は省略して、具体的な例題を中心に述べます。随分と長い記事です。この記事全体のまとめや言い残したことなどを最後に書いているので、「おわりに」から先に読むのもいいかも知れません。内容： 状況設定と問題 どんな道具を使うのか：マルコフ行列 何もしないときの平均損失 行列計算で考える 薬を飲むときの平均損失 2変数損失関数の平均 どんな道具を…

…ート（＝双対グラフ＝ストリング図）で表現されます。内部構造＝アルゴリズムの変更は“リファクタリング”です。「リファクタリングによって計算セマンティクスが影響されてはいけない」というテーゼは、リスコフの置換原理みたいなものです。FHKスタイルのTQFT構成でも、第1段階では境界区間分割に依存する関手を構成します。その後で境界区間分割にも依存しないように細工します。境界区間分割に依存／内部三角形分割には依存しない関手は、TQFT関手の手前まで来ている関手なのです。なので、プレTQ…

…制約付き有向グラフ（ストリング図）の圏Daftogと圏同値であるかのように扱っています。これはマヤカシっぽい話の展開なので、少し補足しておきます。次元0, 1, 2に対して標準アフィン単体を次のように定義します。 Δ0 = {x∈R | x = 1} = {1} Δ1 = {(x1, x2)∈R2 | x1 + x2 = 1 かつ x1 ≧ 0 かつ x2 ≧ 0} Δ2 = {(x1, x2, x3)∈R3 | x1 + x2 + x3 = 1 かつ x1 ≧ 0 かつ x…

…うことです。今回は、ストリング図の描画法をある程度標準化しようという話です。平面内にストリング図を描くとき、ノードの位置（x座標, y座標）を決める基準を定めます。またこれは、ストリング図のテキスト・エンコーディングの標準化手法にもなります。図を入れてないので、後で図を入れるかも知れません。[追記]図を入れました。[/追記]ちなみに、ストーリーを組み立てるためのピースはあと2つ； とある代数系の話と高次関手の構成法です。内容： ストリング図と簡易ストリンググラフ ストリンググ…

…すペースティング図（ストリング図ではない！）は次のような形です（ゴチャゴチャで汚いけど）。これは、2-射Aから2-射Bへ向かう3-射 α:::A≡>B の絵です。αに関連して、次の射（セル）が描かれています。 対象（0-射）P, Q, R, S h1-射 a:P→Q, a':P→Q, b:R→S, b':R→S hv2-射 A::a⇒a', B::b⇒b' t1-射（無名） P→R, Q→S ht2-射（無名） a⇒b, a'⇒b' 3-射 α:::A≡>B 3-射には、これ…

…描き方”を述べます。ストリング図を使う場合は、2-圏の対象、射、2-射の描き方はモノイド圏の場合とほとんど同じです。異なるのは、背景色が“単色”から“多色”になるだけです。ここで背景色とは、対象（0-射、0-セル）を表す領域の色のことです。念のために、2-圏の構成要素（constituent, entity）と図形の対応を示しましょう。 2-圏 ストリング図 対象（0-射） 面（領域） 射（1-射 ） 辺（ストリング、ワイヤー） 2-射 頂点（ドット、ボックス、丸など） モノ…

…閉圏なので、素直に「ストリング図」と呼んでおけばいいじゃないか、という意見は「そりゃそうだ」と思います。こころ穏やかに図式の話をするために、呼び名を変えるのは現実的な対処法でしょう。でもね、「平凡で標準的なイメージだと思う」に書いたとおり、描画のお作法を除けば、いわゆるフローチャートとストリング図に差はないですよ。内実が同じモノの呼び名を変えただけで批難の対象になってしまう、という状況が、すっげー苦々しいわけ。呼び名「フローチャート」が、「これは無根拠に批難してもいいモノ」を…

…。この広い意味だと、ストリング図（例えば「絵算のススメ 2015 年末版」参照）もフローチャートの仲間、つうか、僕にとってはストリング図が典型的なフローチャートです。なので、次のようなことを言われても、何でそう考えちゃうのか？ 理解できないのです。 フローチャートは手続きしか表現できない。 フローチャートはgoto文だからダメ。 フローチャートは関数型言語やオブジェクト指向言語とは無縁。 フローチャートはダメだ、UMLのアクティビティ図ならいい。 もう一度言うと、「四角やひし…

…F -| G を表すストリング図の一部を示します。このストリング図は“どこに”に描かれているのでしょう？ 図に現れるS, V, F, G, ε, ηなどがどこに所属するのか？ と聞いても同じです。答は「モノイド圏の圏」ですが、自然変換も登場するので、「モノイド圏を対象とする2次元の圏」と言うほうが正確です -- 随伴性は2次元の圏で定義されるべきものです。「モノイド圏を対象とする2次元の圏」には、モノイド圏としてのSetやVectkも入ります。「モノイド圏を対象とする2次元の…

…事例・例題に沿って、ストリング図の使い方を説明します。選ぶ実例によって話の内容は変わりますが、その実例を選ぶ際の基本方針は決めています。 ストリング図を話題にしたいので、（当たり前ですが）ストリング図が効果的に使える例。 少ない予備知識で理解できる例。特定分野（コンピュータ科学やら物理やら）の知識を要求せずに、圏に関しても定義くらい知っていればいい例。 通常の圏を拡張・一般化した概念が含まれる例。 すべての条件を満足する例を探すのは難しそうですが、できるだけこの基準に沿うよう…

… いずれ別記事としてストリング図と多圏を準備した上で、自然演繹の再構築ができたらいいな、と思っています。 目論見としては出来ると思ってます。が、実際に遂行する気力が続くか？ はまた別な問題です。自然演繹の再構築に何が必要かは見当がついているので、それについて書いておきます。まず、セマンティクスとしては多圏（polycategory）を使いたい -- 長年、言及するだけで定義も構成も不十分という状態なので、多圏をちゃんと構成したいですね。 多圏の必要性、煩雑さ、そして単純化 モ…

… 自然演繹の証明図 ストリング図 意味論にデカルト閉圏を使うなら、この3つは実際は同じものです。いずれも、デカルト閉圏の射を表現する形式なのです。「ラムダ計算の項」と「自然演繹の証明図」が同じであることを具体的に示せば、それがカリー／ハワード対応になります。「証明」という言葉が、証明オブジェクトというデータを表すこともありますが、証明オブジェクトを作り出す行為を「証明」と呼ぶこともあります。この2種の「証明」はシッカリ区別すべきです。「証明オブジェクト」と「証明行為」とすれば…

…語 その2」「絵算（ストリング図）における池袋駅問題の真相」参照）。似たりよったりの記号／言葉が山のようにあって、それらを明確に区別する人もいれば、同義語として使う人もいれば、なんだかワカラナイままに使っている人もいます。この表は、先に枠組み（空欄の集まり）を作っておいて、そこに同じ言葉が入らないように埋めていったものです。出来るだけそれらしい言葉を選んだつもりではありますが。類似の話題は次の記事でも扱っています。 論理記号のいろいろ さまざまな「ならば」達 いくつかの注意を…

「ストリング図とストリンググラフ、何が違う？」で触れたストリンググラフを、もう少し詳しく説明します。内容： アンチ反射的単純有向グラフ ストリンググラフとラベリング ストリンググラフの描画＝ストリング図 描画の例 その他の話題 アンチ反射的単純有向グラフグラフ理論に関する定義をズラズラと並べます。退屈ですが、言葉の確認です。有向グラフは、頂点（vertex）の集合をV、辺（edge）の集合をEとして、四つ組 (V, E, src, trg) で定義します。ここで、 src:E…