…率論の舞台となる圏にマルコフ圏〈Markov category〉があります。マルコフ圏に関しては、このブログでけっこう書いています。 「マルコフ圏」の検索結果 最初の紹介記事を挙げれば： マルコフ圏 A First Look -- 圏論的確率論の最良の定式化 マルコフ圏は、対称モノイド圏〈symmetric monoidal category〉であって、コピー射〈copy {morphism}? | 対角射 | diagonal {morphism}?〉と削除射〈delete…

…事で触れています。 マルコフ圏の一族 まともな名前さえないヤツラをなぜ何度も話題にするのか？ その理由も過去に書いています。「圏論的コンストラクタと圏論的オペレータ： 関手性・自然性の呪縛からの脱却」より： 圏論で関手と自然変換が重要なのは言うまでもありません。しかし、これらに拘り過ぎるのもマズイのではないか、と思います。プログラミングにおける型構成子や総称関数は、関手・自然変換に対応しないことがままあります。トレースや不動点オペレータは、関手・自然変換ではないけど重要な圏論…

…より弱い構造、例えばマルコフ圏をベース圏にしたらどうでしょう？ デカルト圏で出来たことが出来なくなるんで辛いですが、確率的述語論理のひとつの定式化を与えるかも知れません。論理代数の圏ハイパードクトリン $`(\cat{C}, \cat{L}, \mrm{Pred})`$ における圏 $`\cat{L}`$ のほうは論理代数の圏〈category of logical algebras〉と呼びましょう。“論理代数”の確たる定義があるわけではありません。ハイパードクトリンの構成素…

…想スパイダーとして、マルコフ圏における条件化オペレーターを表す仮想スパイダーを紹介します。マルコフ圏 $`\cat{C}`$ 上に（一般化された）条件化オペレーター $`\mrm{Condit}`$ が備わっているとします。$`\quad \mrm{Condit}^X_{A, B}: \cat{C}(X, A\otimes B) \to \cat{C}(A\otimes X, B)`$条件化オペレーター $`\mrm{Condit}^X_{A, B}`$ に対応す射は存在しま…

CD圏〈準マルコフ圏 | GSモノイド圏〉やハイパーグラフ圏〈ダンジョン圏〉のように、モノイド圏の各対象ごとに与えられる特別な射達とその法則により定義されるタイプの圏を総称してスパイダー付き圏と呼びたいと思います。$`% \newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} } \newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } %`$内容： 関連記事と参考文献 スパイダー スパイダー付き圏 対称スパイダー付き圏と事例 おわりに 関連記事と…

マルコフ圏を普及させた当事者であるフリッツ〈Tobias Fritz〉達は、モナドを備えたマルコフ圏の定義も試みています。 Title: Representable Markov Categories and Comparison of Statistical Experiments in Categorical Probability Authors: Tobias Fritz, Tomas Gonda, Paolo Perrone, and Eigil Fjeldgren…

…・モノイド・モナドは自動的に手に入ります。フリッツ〈Tobias Fritz〉達によると、ある種のデカルト・モノイド・モナドが、デカルト圏とマルコフ圏を架橋しているようです。しかし、僕にとってデカルト・モノイド・モナドが明らかな概念でもなかったのでハッキリさせたかったわけです。デカルト・モノイド圏の2-圏 $`{\bf CartMonCat}`$ に関するルーチンな確認作業をサボっているので、もう少しコイツをいじってからデカルト・モノイド・モナドの話に進もうかと思っています。

…ルタを使っていても、マルコフ圏などのコピー射とは違うので注意してください。以上に定義した、対象の類、ホムセット、結合、恒等射が、全体として圏を構成することは確認できます（やってみてください）。非決定性関数の圏非決定性関数の圏を $`{\bf ND}`$ と書きます。その対象の類とホムセットを書くと： $`|{\bf ND}| := |{\bf Set}|`$ $`\text{For }A, B\in |{\bf ND}|,\; {\bf ND}(A, B) := {\bf S…

…bf Set} `$マルコフ圏 $`\cat{C}`$ 上のベイズ反転オペレータ〈{Bayes | Bayesian} {conversion | inversion} operator〉は次のような形をしています。$`\For A, B, \in |\cat{C}|\\ \quad \mrm{Convs}_{A, B} : \cat{C}(A, B)\times \cat{C}({\bf 1}, A) \to \cat{C}(B, A) \In {\bf Set} `$デカ…

…載せておきます。 をマルコフ圏として、次の射（同時分布）を考えます。 は反転可能、つまり任意の射と分布（域が である射）に対してベイズ反転が存在するとします。射 は次のように定義します。右肩のダガーマークがベイズ反転を意味します。 は第一射影 のベイズ反転ということです。絵を描くときの約束は： ： 赤いワイヤー ： 青いワイヤー ： 三角 ： 斜線網掛けの四角 ベイズ反転の公理的な特徴付けから次が成立します。射 は次のように定義します。この が、最初に与えられた同時分布 の条…

…egory〉または準マルコフ圏〈quasi-Markov category〉と呼びます。"CD" は "copy delete" の略です。CD圏 が次の条件を満たすとき半デカルト〈semi-Cartesian〉といいます。半デカルトなCD圏がマルコフ圏〈Mrakov category〉です。CD構造と双対な構造を余CD構造と呼びます。それは： の対象をインデックスとする射の族 がある。 に対して、 に対して、 は可換モノイドになる。 可換モノイド達 は のモノイド構造と協調…

…図計算のコツと小技 マルコフ圏におけるテンソル計算の手順とコツ 続きの記事： ストリング図と相性が良いテンソル計算 2/2 ストリング図と相性が良いテンソル計算 1/2 例題：行列の転置行列のインデックスが無限集合になると厄介なので、インデックスの集合 は有限集合だとします。例えば、 とかだと思ってかまいません。行列としてのプロファイルが である実数係数行列 を考えます。成分表示は：関数〈写像〉としてのプロファイルは なので、ラムダ式で次のように書いても同じです。 への引数〈…

…1:スタックのpop/pushをget/putだと思うと、良振る舞いレンズですが最良振る舞いレンズにはなりません。 *2:準マルコフ圏の文脈では、この性質を僕は射の非分散性〈nondispersiveness〉と呼んでいます。デカルト圏ではすべての射が非分散的です。 *3:具象という形容詞を付けているのは、もっと抽象的なレンズ概念が色々とあることを示唆します。 *4:図の向きが変わることで混乱してしまう人は「双対や随伴に強くなるためのトレーニング」のトレーニングをしましょう。

…グ 例題としては、「マルコフ圏が条件化可能〈conditionalizable〉なら反転可能〈convertible〉である」という命題を使います。ただし、この命題を証明する気はなくて、説明用の素材をこの例題から取るだけです。例題の内容を知りたいなら、次の記事が参考になるでしょう。 マルコフ圏におけるベイズの反転定理 マルコフ圏に関する用語・記法は常識的なものを使いますが、単位対象兼終対象を と書きます。名称と形状絵算の良い所のひとつは、名称による識別の代わりに絵図記号〈ピク…

…があります。例えば、マルコフ圏に働く条件化オペレーターの作用を曲がったワイヤーで描きます。この場合は曲がったワイヤーはノードに対応しません*3。スパイダーノード前節の曲がったワイヤーのように、ほんとはノードがあるのだけど明示的に描かないケースはけっこうあります。この“明示的に描かないノード”は、ワイヤー頂点とはまったく別です。ワイヤー頂点はノード〈ノード頂点〉じゃないです。“明示的に描かないノード”はノードです。つまり、圏の射が割り当てられます。ぜんっぜん違う。いま、デカルト…

…ーズ目次あり）： 準マルコフ圏からなる2-圏 次の記事： ？？ 前の記事： モノイド圏： 評価写像の双関手性 後知恵から言うとこの記事のパンツマジック等式は、モノイド圏上の反ラックス・モノイド余モナド の余クライスリ圏 のなかで考えると次の等式に相当します。これは当たり前。この記事のシングレットという概念は、 とした恒等射 の における表示です。また、シングレット＝クライスリ恒等射は、次の可換図式の縦方向の辺で与えられます。と、このような事情を前もって知っていれば、この記事の…

「準マルコフ圏からなる2-圏」という記事を書いてからもうすぐ3週間です。「準マルコフ圏からなる2-圏」に引き続く記事で、「“準マルコフ圏からなる2-圏”内の余モナドの余クライスリ圏が準マルコフ圏になる」ことを示す予定だったのですが、引き続く記事は既に10本以上。こんなに長くなるとは思わなんだ。細部まで詰めようと思うと、けっこうな手間ですね。「ちょっとサボろうかな」という気分になっています(苦笑)。今回述べる評価写像の双関手性は、後の計算でどうしても必要なのですが、ある程度は直…

「準マルコフ圏からなる2-圏」からはじまる一連の記事を書いているのですが、これらの記事の目的は「準マルコフ圏からなる2-圏内の余モナドの余クライスリ圏を調べる」ことです。この記事のタイトルの「余計な話かも知れない」とは、上記の目的には不要かも知れない、ということです。特定の目的に対して、一般論がどの程度必要かの判断は難しいですね。「BUNツリーの亜群オペラッド構造」の最初の節は「目論見違い」ですが、これは、「亜群オペラッドは不要だと思っていたがどうも必要そうだ」ということでし…

…ーズ目次あり）： 準マルコフ圏からなる2-圏 次の記事： 余計な話？ 厳密2-亜群オペラッドとモノイド圏 前の記事： BUNツリーの亜群オペラッド構造 反ラックス・モノイド余モナド「反ラックス・モノイド余モナドの余クライスリ圏 その1」より： 余モナドは一時的に太字で と書くことにして、 とします。 この書き方は「一時的」じゃなくてしばらく使うことにします。2つの余モナドが登場する場合は： と あるいは： と 太字〈ボールド体〉ではない は余モナドの台である反ラックス・モノイ…

…ーズ目次あり）： 準マルコフ圏からなる2-圏 次の記事： 反ラックス・モノイド余モナド： 記号の使用・乱用 再考 前の記事： 反ラックス・モノイド余モナドの余クライスリ圏 その1 目論見違い「反ラックス・モノイド関手の一般余結合律」から幾つかの文言を引用します。 二分木の全体をオペラッドに仕立てることは出来ますが、意外とめんどくさいので、今回は半オペラッドでよいとします。 今回は、上段にある （左からのスイッチと右からのスイッチ）という基本変形だけを使うので、下段の変形は無視…

…やりたいことは、「準マルコフ圏を基礎圏とする準マルコフ余モナドがあれば、その余クライスリ圏は再び準マルコフ圏の構造を持つ」ことを示すことです。が、一度にやろうとすると長くなるので、ここでは、（小さい）モノイド圏を対象として、反ラックス・モノイド関手と反ラックス・モノイド自然変換を1-射／2-射とする厳密2-圏 のなかの余モナドの余クライスリ圏について考えることにします。 内容： 記号の約束 圏としての余クライスリ圏 モノイド圏としての余クライスリ圏 モノイド積の交替律 モノイ…

…ーズ目次あり）： 準マルコフ圏からなる2-圏 次の記事： 反ラックス・モノイド余モナドの余クライスリ圏 その1 前の記事： 準マルコフ余モナドの計算と記述の方法 二分木とモノイド圏次の3種類の記号を考えます。 という番号 という黒丸記号 左丸括弧と右丸括弧 黒丸を二項演算子記号と考えて、括弧のバランスがとれた記号列、例えば などは二分木〈二進木 | binary tree〉のテキスト表現と考えられます。以下、記号列と二分木をほとんど同一視します。二分木の葉〈リーフ〉として出現…

準マルコフ圏達を対象類とする厳密2-圏と、そのなかの余モナドについて幾つかの記事を書きました。 準マルコフ圏からなる2-圏 準マルコフ圏の掛け算関手 準マルコフ余モナド 何を言いたいのかと言うと： 準マルコフ余モナドの余クライスリ圏は再び準マルコフ圏になるだろう。 ザッとあたりを付けてみたところ、（細部の見落としはあるかも知れませんが）たぶんこれは成立します。あたりを付けるときに使った計算法は絵算〈{graphical | diagrammatic | pictorial} …

「準マルコフ圏からなる2-圏」において、準マルコフ圏を対象〈0-射〉として、準マルコフ関手を1-射として、反ラックス・モノイド自然変換を2-射とする2-圏（厳密2-圏）を構成しました。この2-圏のなかの余モナド〈コモナド〉を考えてみましょう。これは、「準マルコフ圏の掛け算関手 // 掛け算関手のさらなる性質」で予告した内容です。内容： 厳密2-圏内の余モナド 記号の約束 掛け算余モナド 反ラックス・モノイド性： 準備 反ラックス・モノイド性： 記述 最初の記事（シリーズ目次あ…

記事「準マルコフ圏からなる2-圏」で導入した概念に対して簡単な例を挙げます。概念的には簡単ですが、テキストで記述するのはけっこうな手間です。内容： 掛け算関手 反ラックス・モノイド関手としての掛け算関手 反ラックス対称モノイド関手としての掛け算関手 準マルコフ関手としての掛け算関手 掛け算関手のさらなる性質 最初の記事（シリーズ目次あり）： 準マルコフ圏からなる2-圏 次の記事： 準マルコフ余モナド 前の記事： 準マルコフ圏からなる2-圏 掛け算関手 をモノイド圏とします。も…

…な定義）を使って、準マルコフ圏について説明します。すべての準マルコフ圏を集めた類（大きいかも知れない集合）に2-圏*1の構造を入れます。[追記 date="翌日"]準マルコフ圏の定義で、対称 を入れ忘れていたところがあったので追加しました。また、反ラックス・モノイド関手に関する記述が不適切なところがあったので、そこには追記でコメントして修正しました。[/追記]内容： 絵図は描かないので… 準マルコフ圏 反ラックス対称モノイド関手 準マルコフ関手 何に使う？ シリーズ目次（リン…

…ategory）。準マルコフ圏は、マルコフ圏から半デカルト性〈semicartesian {condition | property}〉を除いたものです。シーケント圏は、僕の造語です。以下の記事で、モノイド圏から簡約多圏を作る構成を紹介しました。これは、モノイド圏の厳密化〈strictification〉になっています。この方法で作られた厳密モノイド圏をシーケント圏と呼ぶことにします*3。 対称モノイド多圏（簡約版） 簡約多圏とシーケント計算 ドクトリン達の階層構造前節で挙げ…

昨日の記事「マルコフ圏におけるテンソル計算の手順とコツ」で次のような表を挙げました。 対象が番号／番号リスト 対象が集合／集合リスト 簡約多圏 L FinSet Poly(FinSet) Mat FXMat Poly(FXMat) = FXTens Tens FXTens = T - これらの圏について、ちょっと説明を付け加えておきます。$` % \newcommand{\P}{ {\bf P} }% \newcommand{\N}{ {\bf N} }% \newcomma…

…れているマルコフ射（マルコフ圏の射）を、テキスト式に翻訳して計算する手順とコツを述べます。ここでのコツとは、「変数に名前を付けないで番号で済ませる」という（割とくだらない）方法です。内容： マルコフ圏とその多圏 マルコフ・テンソル 例題： 同時化 総和の計算規則 変数に名前を付けない 例題： 周辺化 まとめ マルコフ圏とその多圏マルコフ圏についてはここでは説明しません。「マルコフ圏 A First Look -- 圏論的確率論の最良の定式化」とそこから参照されている記事を参照…

…、具体的に構成されたマルコフ圏（マルコフ圏 A First Look -- 圏論的確率論の最良の定式化」参照）のことです。確率的圏の形式的な定義は「統計的反転の圏論的セットアップ 1/2 // 確率的圏と準確率的圏」に書いてあります。確率的圏はマルコフ圏の構造を持ちますが、その対象は可測空間とみなせ、その射はマルコフ核（「マルコフ核： 確率計算のモダンな体系」参照）とみなせます。可測空間Xに対して、Xの上の確率測度の集合に適切な可測構造（シグマ集合代数）を載せた可測空間を（X…