…`$ 単位〈余評価〉 $`\eta :: \mrm{Id} \twoto F*U`$ 余単位〈評価〉 $`\varepsilon :: U*F \twoto \mrm{Id}`$ ニョロニョロ関係式 その1 $`(\eta*F);(F*\varepsilon) \thrto \mrm{ID}_F`$ ニョロニョロ関係式 その2 $`(U * \eta);(\varepsilon*U) \thrto \mrm{ID}_U`$ 随伴系が出てきたら、必ずこの十項目を確認しましょう。

…silon)`$ にニョロニョロ関係式〈snake {law | relation | equation | identity}〉を入れて定義する方式は、単位・余単位方式〈unit-counit style〉の定義、$`(\cat{C}, \cat{D}, L, R, \Phi, \Psi)`$ に $`\Phi, \Psi`$ が互いに逆だと主張する等式（ラムダ計算用語ではベータ等式とエータ等式）を入れて定義する方式は、転置・反転置方式〈transpose-untransp…

…stem〉ですよね。ニョロニョロ関係式〈snake {law | relation | equation | identity}〉をペースティング図で描いてみましょう。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}} %\newcommand{\msf}[1]{\mathsf{#1}} %\newcommand{\o}…

…ystem〉から、『ニョロニョロ関係式』をお絵描きで導出する」に目星が付きました。「コーナー、キンク、ニョロニョロ」にて： まだ生煮えの話をします。最初に動機を書くと； 随伴系を定義する2つの方法である「ニョロニョロ関係式」と「自然なホムセット同型」が同値であることをお絵描き〈絵算 | {pictorial | graphical | diagrammatic} calculus〉で示したい！ ということです。最近、二重圏のなかで形式圏論をすれば、「自然なホムセット同型」から…

… コーナー、キンク、ニョロニョロ // 二重圏による形式圏論 自然変換を変換する： 二重圏を使った圏論のために 二重圏 $`\mbf{ProfDC}`$ の二重射には特に呼び名がないのですが、制限自然変換〈restriction natural transformation〉とでも呼びますか。そう呼びたい事情は「自然変換を変換する： 二重圏を使った圏論のために // 動機： 圏達の2-圏と二重圏」を読めば分かるでしょう。この呼び名を使うと、二重圏 $`\mbf{ProfDC}…

…「コーナー、キンク、ニョロニョロ」に書いたように、完全に形式的な圏論じゃないですけど： ただし、完全に抽象的・公理的な構造としての二重圏を使うわけではなくて（それは抽象的過ぎるので）、二重圏の一例である“関手とプロ関手の二重圏”で考えます。小さい圏、関手、プロ関手と、それらから定義された二重射〈double morphism〉からなる二重圏を $`\mathbf{ProfDC}`$ として、$`\mathbf{ProfDC}`$ 内の半形式圏論（ある程度具体化された形式圏論）…

…伴系の単位／余単位やニョロニョロ関係式は暗黙に想定されます。随伴系はホムセット同型を伴うので、次のような同型（の族）があります。$`\text{For }A\in |\cat{C}|, Y\in |\cat{K}|\\ \quad \cat{K}(J(A), Y) \cong \cat{C}(A, G(Y)) \In \mbf{Set} `$ $`J`$ が対象上で恒等〈i.o.o.〉だったので、$`J(A) = A`$ です。なので、ホムセット同型は次のように書けます。$`…

… コーナー、キンク、ニョロニョロ 前節の指標内の記号 '$`\Rrightarrow`$' は二重圏の3-射で、これは二重射のあいだの等式です。$`\text{kink-1}`$ は次の等式です。$`\quad \eta1 ; \varepsilon2 = \ID^{=}_F \In \DLA`$ そして、$`\text{kink-2}`$ は次の等式です。$`\quad \eta1 \pcomp \varepsilon2 = \ID^{||}_A \In \DLA`$これら…

…る2つの方法である「ニョロニョロ関係式」と「自然なホムセット同型」が同値であることをお絵描き〈絵算 | {pictorial | graphical | diagrammatic} calculus〉で示したい！ ということです。ニョロニョロ関係式〈snake {law | relation | equation | identity}〉を仮定して自然なホムセット同型を導くことは、過去記事「代数的な随伴系から自然なホムセット同型へ」でやっています。その過去記事において次のよう…

… ドクトリン」参照）も二重圏、あるいは三重圏を形成しそうですが、事例に使えるほどにハッキリと分かっているわけじゃないです。もしハッキリ分かれば、これもカリー／カン計算の事例になり得る可能性があります。他にも（例えば依存型理論から）何か具体例が見つかれば追加します。具体例はなんぼあってもいいですからね！ *1:「ラムダ計算の自然性とお絵描き」「モノイド閉圏： カリー化からニョロニョロまで」では、指数随伴系〈exponential adjunction〉という言葉を使っています。

…る等式（2つある）はニョロニョロ法則3-射〈snake law 3-morphism〉です。3-射とは、2-射のあいだの等式のことです。随伴系をストリング図とストリング図描き換えとして表すと次のようです。 0-射は、バッテン（文字エックスではなくてエリア） 1-射は、ワイヤー 恒等1-射は、黒点線ワイヤー 2-射は、ノード 恒等2-射は、黒点線輪郭のノード 3-射は、ストリング図の描き換え〈変形〉 「アドホック随伴系と自由対象・台対象」に、ペースティング図と指標もあります。随…

…随伴ペアと同じ等式（ニョロニョロ関係式）を満たすことです。圏同値は、可逆な単位／余単位を持つ随伴系ですから。（以下のアスタリスクは、関手の図式順結合記号。）$`\quad \eta :: R_X * S_X \twoto \mrm{Id}_{\cat{S}/X} : \cat{S}/X \to \cat{S}/X \In {\bf CAT}\\ \quad \varepsilon :: \mrm{Id}_{\cat{S}^X} \twoto S_X * R_X : \cat{…

…的法則〈公理〉であるニョロニョロ法則〈snake {law | relation | equation | identity}〉を満たすことも簡単に示せます。さらに、随伴系達は横結合で圏になります。恒等は次の自明な随伴系です。$`\quad \msc{I}_A := \big(\, (\mrm{id}_A:A \to A) \dashv (\mrm{id}_A : A \to A) \text{ by }\mrm{Id}_{\mrm{id}_A}, \mrm{Id}_{\mr…

…ストレッチングを実行すればいいわけです。もとの左カン拡張の普遍性（ラムダ計算のベータ等式に相当）で $`K`$ のワイヤーがストレッチされ、随伴系のニョロニョロ等式で $`P, Q`$ のニョロニョロがストレッチされて $`\beta`$ だけが残るので、$`{^{\sqcap'}({_{\vee'} \beta})} = \beta`$ が示せます。$`{_{\vee'}({^{\sqcap'} \gamma})} = \gamma`$ もストリング図を眺めながら示せます。

…系が満たすべき法則はニョロニョロ法則〈snake {law | relation | equation | identity}〉です。象形文字を使って書くと次のようです。$`\quad ({_f \cap _g} * \mrm{I}_f) ; (\mrm{I}_f * {^g \cup ^f}) = \mrm{I}_f \In \cat{K}\\ \quad (\mrm{I}_g * {_f \cap _g} ) ; ({^g \cup ^f} * \mrm{I}_g) = …

…{ID}_G`$ （ニョロニョロ関係式〈snake {relation | equation | identity} 〉） これで、代数的な随伴系は定義されます。このテの定義を書くとき毎回思うことが、「名前（割り当てる記号と用語）が邪魔だなー」「名前を決めるのが嫌だな、決めたくないなー」。なぜかと言うと、抽象的構造は確定的でも、名前は恣意的に変動してしまうからです。実際、以下は別なタイミングで記述した代数的な随伴系の定義です -- 色付きLaTeX（MathJax）で書いたも…

…{ID}_G`$ （ニョロニョロ関係式〈snake {relation | equation | identity} 〉） これら一式は、次のような絵〈ストリング図〉に描けます。描画方向は上から下、左から右です。[追記] 随伴系の2-指標を、色付きのテキスト／ペースティング図／ストリング図で描いたことがあったのを思い出しました。 随伴系の2-指標 [/追記]絵のレイアウトと描画方向（左から右）にあわせるために、演算子記号は図式順を使います（「関手と自然変換の計算に出てくる演算…

…y with duals〉を要求します。コーナーの種類が8種あると、次のようなワイヤー・ベンディング（180度の曲がり）を作れます。縦方向下向きのコーナーだけだと、上段のベンディングしか作れません。それだと、双対性（ニョロニョロ関係式）の半分しか記述できません。もとにするモノイド圏が持っている構造や性質、埋め込み先（として構成する）コーナリング圏の構造や性質により、諸々の状況が変化します。この変化を観察することにより、各種モノイド圏のあいだの親族的関連性も見えてくるでしょう。

…p`$ が消えるのはニョロニョロ関係式〈snake {relation | equation | identity} 〉からです。コンパクト閉圏は、規準的なトレース・オペレーターを持ちます。このトレース・オペレーターも、単位／余単位を使って書けます。$`\For A, B, X \in |\cat{C}|\\ \:\\ \Declare \mrm{Tr}^X_{A,B}:\cat{C}(A\otimes X, B \otimes X) \to \cat{C}(A, B)\\ …

…x, x')`$次のニョロニョロ関係式〈snake {relation | equation | identity} 〉が成立します。$`\quad (\wedge_X \otimes \I_X)\C (\I_X \otimes \vee_X) = \I_X\\ \quad (\I_X \otimes \wedge_X )\C (\vee_X \otimes \I_X) = \I_X `$*1ニョロニョロ関係式の証明は、クロネッカーのデルタの練習問題として適切です。$`\ve…

…s A\\ \quad \cup_A : A\otimes A^* \to I`$ベータ変換は、ニョロニョロ・ワイヤーの引き伸ばしとして自然に解釈できますし、テキスト表示との関係も素直に理解できます。一方、ハイパーグラフ図で同じベータ変換を描くと次のようです。ストリング図ほどの自然さ／素直さは感じられません。ハイパーグラフ図を使うときは、この記事で述べたような問題点に注意する必要があります。あるいは、ハイパーグラフ図は使わずにやっぱりストリング図にするという判断もあり得ます。

…nsorator〉 ニョロニョロ律 ニョロニョロ律子〈snakeorator | snakerator | gigzagerator〉 律子について初めて書いたのは2016年の次の記事です。 律子からカタストロフへ 最近だと、次の記事に説明があります。 両側アクテゴリーとその準同型射 // 律子＝法則射 律子の語尾は -or にするのがルールで、Yang-Baxterator〈ヤン／バクスター律子〉なんてのも見たことがあります。ネーミングルールはあるのですが、「法則〈律〉をゆ…

…き法則は、次の2つのニョロニョロ関係式〈snake {relation | equation | identity}〉です*3。随伴系の域と余域である圏も含めれば、随伴系は6つ組 です。随伴系を表すために、次のような記号の乱用をします。つまり： 随伴系とその左関手を同じ記号で表す（オーバーロード）。 随伴系の右関手は随伴系の名前にダッシュ〈プライム〉を付けた記号で表す。 随伴系の単位は の右肩に随伴系の名前を乗せた記号で表す。 随伴系の余単位は の右肩に随伴系の名前を乗せた記…

…erchangor ニョロニョロ法則 snakeorator 英語では語尾を'or'にするルールのようです。この'or'に相当する日本語として「律子〈りつし〉」を使ってきました。意味的に、律 ＝ 法則、子 ＝ 射 なので、次の正規表現の呼び名を許すことにします*1。 {律 | 法則}{子 | 射} 例えば、「律射」「法則子」でもかまいません。「法則射〈law morphism〉」が使いやすそうですね。法則射が満たすべき等式的法則（法則の法則）は一貫性条件〈coherence …

…の形になります。*1ニョロニョロ〈snaky〉が真っすぐ〈straight〉に伸ばせるよ、という命題がニョロニョロ関係式〈snake {relation | equation | identity} 〉です。随伴や双対と呼ばれる構造は、ニョロニョロ関係式で支配されています。 [/追記]関連する記事： ストリング図計算のコツと小技 マルコフ圏におけるテンソル計算の手順とコツ 続きの記事： ストリング図と相性が良いテンソル計算 2/2 ストリング図と相性が良いテンソル計算 1/2…

…す。線形代数におけるニョロニョロ関係式（「カッコイイけど使える線形代数とは？」参照）は次のように書けます。モノイド圏の構造同型射 をちゃんと考慮すれば次のようになります。ウーム。ニョロニョロな感じがしない(苦笑)。事例色々と不満や問題点はありますが、幾つかの等式を、前節の方法で書き下してみます。 反ラックス・モノイド関手の余乗法の自然性 としましょう。 が自然であることは次のように書けます。これは、なんとかストライプ図をイメージできるかな。 反ラックス・モノイド関手の余乗法の…

…随伴の単位／余単位とニョロニョロ関係式も必要ですけどね。2つのストリート随伴から、4つのモナド／コモナドが構成できます。 コモナド $`\stackrel{\rightarrow}{\mathfrak{E}}/{\bf Mnd}`$ モナド $`\stackrel{\leftarrow}{\mathfrak{E}}/{\bf Cmn}`$ モナド $`\stackrel{\leftarrow}{\mathfrak{M}}/{\bf Mnd}`$ コモナド $`\stackre…

…あることは、随伴系のニョロニョロ等式〈snake {equation | relation}〉から分かります。次に、上側比較関手 K:D → EM(T) を構成しましょう。上側比較関手は、圏 Resol(T) における終射（終対象への唯一の射）と言ってもいい（はず）です。EM(T) の対象はアイレンベルク／ムーア代数なので、それを A = (A, αA) in EM(T) と書くことにします。代数構造とその台対象（Cの対象）は区別します。ここで区別しない（記号の乱用をする）と…

…すね。[/追記] *3:充満部分圏は、ホムセットがめいっぱい太っている部分圏です。 *4:ニョロニョロ等式を満たす代数系としての随伴系からホムセット同型は導けます。逆に、可逆自然変換としてホムセット同型が与えられれば、そこから代数系としての随伴系を構成できます。 *5:同一の実体が2つ以上の顔〈役割〉を持つことは、日常では当たり前のことなんですが、なかなか難しいようです。セミナー補足資料として書いた記事に「「僕のおとうさん」と「お友達のおとうさん」 (C A4)」があります。

…ら下」の方向を採用しています。例えば、次の記事参照。 ラムダ計算の自然性とお絵描き モノイド閉圏： カリー化からニョロニョロまで ストリング図の読み書きは、下から上でも別にかまわない（さほど困らない）のですが、象形文字を「上から下」方向で決めているので、出来れば「上から下」を採用して欲しいのですよ。例えば、fの左カリー化は で右カリー化は です。ヤンキング（紐を引っ張って伸ばすこと）は次のように書けます。 「上から下」方向なら、ストリング図と象形文字記法がバッチリ一致します。