…す。圏の圏CAT内のストリング図に、圏の対象・射も一緒に描けることになるのです。これは、とんでもないイノベーションで、ストリング図と絵算の利便性が向上し、適用範囲を格段に拡げました。ノード形状今話題にしている絵図においては、ノードは自然変換と自然変換で表現される射を表します。ノードの形状は色々あります。例えば、f:X → YZ を表すノードの形状のレパートリは：他にいくらでもノード〈アイコン〉のデザインは作れます。ノードの形状が何を表すかというと： 自然変換・射の種類を、形状…

…istics"にあるストリング図を拝借してその定理（あるいは公理）を述べれば：イコールの左辺にある射 が与えられたとき、イコールの右辺にある射 が存在することを主張します（一意的とは言ってない）。ストリング図を使って述べているので、ストリング図が読めないと命題の意味が分かりませんが、ストリング図の原則は： 圏の対象をワイヤー〈ストリング | 線〉で描く。 単位対象は不可視のワイヤー（何も描かない）とする。 圏の射を、丸、四角、三角などのノードで描く。 上の図では、射の方向は下…

…という関数〈写像〉をストリング図で表すと、次のようになります。描画方向は上から下で、関数のノードは四角です。*1とあるコミュニティーでは、次のような図を因子グラフ〈factor graph〉と呼ぶようです。ストリング図と同様、描画方向を前もって決めて矢印を省略することもあります。*2丸いノードは無駄だと思うんですが、丸のなかに変数宣言を書けば：*3これは次の2つの情報を一度に表しています。 f:X×Y→Z z = f(x, y) 二番目のほうは関数の古典的な表し方です。引数変…

…キスト等式ではなくてストリング図と絵算が使われます。測度論ベースでは、積分計算が主体になります。フリッツは、Aタイプのアプローチを統合的〈synthetic〉とも呼んでいます。分析的〈analytic〉の対義語ですね。個別の対象物を分析するよりは、対象物全体の特徴を俯瞰的に捉えようとするアプローチだからです。そしておそらく、"analytic"を解析的と解釈して対義語でもあるのでしょう -- 測度論・積分論は解析に含まれますから。統合的アプローチは解析学を使わないのです。とこ…

…りにくく視認性が悪いストリング図を描いたのだろう。 ポイントは「合わせるために」です。フォングは先達をリスペクトし、コミュニティのジャーゴンを尊重して語法・記法・図法を選んだのでしょう。そう考えれば辻褄が合います。「因果セオリー論の語法・記法・図法（修正案付き）」の、分かりにくい言葉のリストを再掲します。 フォングの用語 代替の用語 因果セオリー 厳密マルコフ圏 因果モデル グラフィカルモデル 因果構造 グラフィカルスキーマ 確率変数 頂点 因果関係 辺 因果機序 固有生成射…

…において、フォングのストリング図は「視認性が悪く、おすすめできませんね。」と否定的な言い方をしたのですが、あの図法で描くにはそれなりの理由があり、フォングのアイディアが潜んでいます。そのアイディアとメリットを説明せずに「視認性が悪い」で片付けるのはいかがなものか？ と反省したので追加説明をします。とはいえ、語法・記法・図法で、やっぱり直したほうがいいだろうと思う点はあるので、それは指摘します。内容： 普通の言葉にしよう グラフィカルスキーマ ストリング図への描き換え フォング…

…デルと呼ばれる関手 ストリング図の描き方 おわりに 続きの記事： 因果セオリー論の語法・記法・図法（修正案付き） フォングは何故「確率変数」と呼んだのか セオリーと因果フォング論文は次の5章から構成されます。 モノイド圏に関する準備〈Preliminaries on Monoidal Categories〉 圏論的確率論〈Categorical Probability Theory〉 ベイズ・ネットワーク〈Bayesian Networks〉 因果セオリー〈Causal Th…

…んなことありません。ストリング図を約束に従って解釈すれば、この絵図等式は極めて明確な意味を持ちます。ちなみに、下から上の向きなのでそれは注意してください（「双対や随伴に強くなるためのトレーニング」参照）。[図 B]のψやψ|Xをマルコフ核*2（測度論的な積分核）だと思って、dx, dy記法（「ライプニッツの微分記法とアインシュタインの総和規約を測度に使ってみる」参照）を使ってベイズの定理を書けば： [等式 C] 今日のところは、[図 B]、[等式 C]の説明は割愛しますが、出…

…フ圏における計算にはストリング図をヘビーに使いますが、ストリング図の利用についても似たことをやってました。 確率的推論・判断の計算法：マルコフ・テンソル絵算 マルコフ圏において、独立性の概念を定義できます。これは、独立性の圏論的定式化になりますが、独立性の圏論的定式化はフランツ〈Uwe Franz〉とシンプソン〈Alex Simpson〉が既に行っています。 フランツによる統計的独立性の定義 統計的独立性と線形独立性を共通に語ることは出来るのか？ フランツ方式、シンプソン方式…

…は、下から上に向かうストリング図で描けば分かりやすいです。なぜ下から上かと言うと、古典テンソル計算の記法に合わせるためです。デルタ記号による置換の書き表し方σ∈Sym(n) に対して、Tσ∈Aut(V⊗n) を、記号の乱用によりσと同一視することがあります。 Tσ = σ （乱用） σ, τ∈Sym(n) のときは、σ + τ とか 2σ とかは無意味ですが、σ, τ∈Aut(V⊗n) とみなせば、σ + τ, 2σ∈End(V⊗n) として意味があります。ここで、End(V…

…しょう。この模様とはストリング図ですが、具体的にどんなストリング図が描かれているかは気にしないで、「なんらかのストリング図か描かれている」という想定です。“模様＝ストリング図”が描かれる前の穴あき円板を小円板キャンバス〈little disks canvas〉、混乱の恐れがなければ単にキャンバス〈canvas〉と呼びます。小円板キャンバスの外側の円周を外円周〈outer circle〉、穴の周囲の円周を内円周〈inner circle〉と呼ぶことにします。キャンバスに空いてい…

…板以外の絵の描き方 ストリング図とプログラム処理の記述 モノイド圏上のテンプレート・オペラッド オペラッド複圏〈multicategory〉をメチャクチャに手短に説明すると； 圏が“射の集まり”であるのに対して、複圏は“複射〈multimorphism | multiarrow〉（オペレータ〈operator〉またはオペレーション〈operation〉とも呼ぶ）の集まり”です。圏の射が1入力・1出力の関数を（極端に）抽象化したものであるのに対して、複圏の複射はn入力・1出力の…

…この制約をはずして、ストリング図により近く、それでいて従来型の計算（等式の変形など）にも向いている記法が欲しくなりました。そんな記法がないと「ちょっとやってられん」と感じるのです。なので、新記法*1を考えてみます。CatPictって名前にします（categorical pictgram language の短縮）。内容： DOTN三号 CatPict 等式計算など DOTN三号DOTNは、非アスキー文字の使用を最小限（ギリシャ文字など）にして、可能な限りアスキー文字を使用する…

…図も描いています。 ストリング図による複合モナドの計算 (1) *1 ストリング図に比べて特にメリットがないので、スタック図を描くのはやめてしまいました。スタック図は（僕のなかでは）葬り去られた存在でした。しかし、最近事情が変わって、再びスタック図の出番がきたのです。そう、いま、スタック図はよみがえるのだ。内容： スタック図 なぜ今、スタック図なのか 事例 1：モナドの結合律 事例 2：モナド準同型射の条件 オマケ：等式を象徴する図形 スタック図2次元の圏なら何でもいいのです…

…て考えてみる // ストリング図とストライプ図」の続きです。内容： 自然変換ストリング図と関手ストリング図 ストリング図書き換え ストライプ図 自然変換ストリング図と関手ストリング図単に「ストリング図」と言ってきましたが、二種類のストリング図が登場してましたね。「自然変換、関手、圏」を表すストリング図を自然変換ストリング図〈natural transformation string diagram〉、「関手、圏」を表すストリング図を関手ストリング図〈functor strin…

…に読める付録として、ストリング図とストライプ図の関係を説明します。内容： ラックス・モノイド関手 ストリング図書き換え ラックス・モノイド関手の素材 ラックス・モノイド関手の結合律と単位律 ストリング図とストライプ図 関連する記事： 図式思考の例として、コモノイドについて考えてみる ラックス・モノイド関手モノイド圏、各種モノイド関手、モノイド自然変換については、以下の記事を参照してください。だいたいの雰囲気を知っていればいいです、完全な理解は要求してません。 モノイド関手／ラ…

…持ち上げの状況を表すストリング図を再掲。黒が与えられた圏・関手で、赤が拡張／持ち上げとなる関手・自然変換です。同じことをペースティング図でも書いておけば：最近使い始めた、MathJaxで描く貧相なペースティング図なら：$`\require{AMScd} \newcommand{\hyph}{\mbox{-}}% \newcommand{\cat}[1]{{\mathcal {#1}}}% \newcommand{\incat}{\:\: \mbox{in}\:}% \newc…

…じます。同じ内容でもストリング図／ストライプ図で描くとずっと分かりやすく感じます。ストライプ図については、 モノイド関手／ラックス・モノイド関手とその実例 // マッカーディのストライプ図 ストライプ図を使っている記事は： モノイド圏と加群圏に関するフォークロアとマックレーン五角形・三角形 モノイド自然変換とモノイド同値関手 リストモナドとテンソル空間モナドのあいだの準同型射 インデックス付き圏を拡張してファイバー付き圏へ ストリング図／ストライプ図を使うと、次の類似性が目視…

…なので、今回もラフなストリング図から始めます。このストリング図の形状にラベルを追加し、アスキーテキストで書く方法は前回説明しました。集合圏の対象と射でラベルすれば、お馴染みの（普通の）モノイドですね。前回の図を以下にコピーします。 Aは集合。 Iは単元集合。太字の1を使わないのはアスキーテキストだけで書きたいから。Iの唯一の要素は何でもいいけど、今ここでは I = {0} とする。 mはモノイドの乗法 m:A×A→A 。 eはモノイドの単位 e:I→A 。 結合法則 A A …

…イドの法則を、ラフなストリング図で描けば次のようになります。左から、結合法則〈結合律〉、左単位法則〈左単位律〉、右単位法則〈右単位律〉です。ストリング図を描くツール／環境が整備されてないので、通常の文字組版・印刷やアスキーテキストでも実現できる代替表現として、次の方法があります。 ノード〈頂点 | 点〉の代わりに横線を描く。 ノードのラベルは横線の右脇に書く。 ワイヤー〈ストリング | 線〉は書かずに、ワイヤーのラベルだけを文字で書く。 この方法で、ラベル（集合と演算の名前・…

…のことを、お絵描き（ストリング図による描画）を混じえて説明します。注意： この記事で使っている「ベント〈bento〉」は間違いです。正しくは「ベンド〈bend〉」です。「ベント〈bent〉とベンド〈bend〉： 訂正と説明」参照。内容： モノイド閉圏 カリー化と反カリー化 カリー化に関するタイトニング／スライディング タイトニング カーブに沿ったスライディング 真っすぐなスライディング 自然性をまとめてみると 補足： 音楽記法 モノイド閉圏ラムダ計算のセマンティクス〈モデル〉…

…留め金、池袋 絵算（ストリング図）における池袋駅問題の真相 絵算のススメ 2015 年末版 絵算の描画方向を示すために旗を使うことにした プロファイル注釈の解釈例を幾つか追加しておきましょう。矢印の左または右に何も書いてない所はRが省略されてます。 マーカーによる注釈 対応するプロファイル情報 z: V, V → W, W, W y: → V a: V → V f: W, W → テンソルのテンソル積2つのテンソルを単に併置した場合、それはテンソル（線形写像）のテンソル積を意…

…。このテの問題は絵（ストリング図）を描かないと説明しにくいですね。 *2:区別することによるメリットより、区別することによる弊害のほうが大きいと思います。「dか∂かは別にどうでもいい」と割り切ったほうがいいでしょう。 *3:変数が束縛なのか自由なのかは、変数名で決まるのではくて、個別の出現〈occurence〉ごとに、束縛出現と自由出現があります。同名の変数が、束縛出現したり自由出現したりすることがあります。変数出現の束縛・自由は、その変数を支配している（スコーピングしている…

…-関手として考える ストリング図とストライプ図 タイト2-関手 ファイバー付き圏の構成 ファイバー付き圏とインデックス付き圏ファイバー付き圏の定義の方法が二通りあります。 射影関手 P:E→B を使う方法。 Bを添字圏〈indexing category〉とする圏の添字族〈indexed family of categories〉を使う方法 二番目の添字族〈インデックス族〉を使う方法として、インデックス付き圏があります。しかし、インデックス付き圏の定義が強すぎる（きつすぎる）…

…コブス・スタイルは、ストリング図と相性がよく、モノイド圏における絵図計算〈pictorial calculation〉の技法がそのまま使えます。ジェイコブス達は言及してないようですが、ゴグエン／バーストル〈Joseph Goguen and Rod Burstall〉のインスティチューション〈institutions〉や、ローヴェア〈William Lawvere〉のハイパードクトリン〈hyperdoctrine〉との関連もありそうです。インスティチューション／ハイパードクト…

…（ペースティング図とストリング図）を描いたとき、ほんとの空間的な位置・方向として上下左右を使うこともあります。さらには、空間的位置・方向にちなんで用語〈テクニカルターム〉が決められることもあります。ところがさらに、図の描き方（描画方向）が多様なので、描き方を変えると空間的位置・方向と用語は一致しなくなります。「圏論の極限を具体的に // 関手の極限の復習」に挙げた例ですが、次の圏論用語は同義語（「右カン拡張」は類義語）です。 極限＝逆極限＝左根≒右カン拡張 もうほんとにどうに…

…'は縦結合です。絵（ストリング図）を描いてみれば、定義の由来は明らかでしょう。この結合に関する結合律と単位律も絵で容易に示せます。1AdjR(Cat) は、1AdjL(Cat) と同様に定義しますが、随伴系の向きを右関手〈right functor〉の向きにとります。一般的厳密2-圏Kに対する 1AdjL(K), 1AdjR(K) も同じ議論で定義できます。 1AdjL(Cat)（あるいは、1AdjR(Cat)）だけでも、モナド／コモナドを調べる道具に使えます。が、やはり随伴…

…織り込む」だそうです。おそらく（想像だが）、複数の素材が絡まった構造をリースと呼んだのでしょう。リース積は、小枝や蔦が絡まった輪から、別な絡み輪を作る操作、って感じなのでしょう。そう思うと割と腑に落ちる。ストリング図の計算は、絡んだ蔦をいじっているみたいだからね。 *1:画像： https://www.creema.jp/item/1629213/detail より *2:画像： https://www.pinterest.jp/pin/256001560049221204/

…す。可換図式より絵（ストリング図）にしたほうが分かりやすいでしょう。絵の見方に関しては、「ベックの分配法則、ベック分配系、複合モナド // ベック分配系」の絵の周辺にちょっと書いてあります。以上のセッティングで、次が成立します。 Comag(Mag(C, F), G↑β) Bimag(C, (F, G, β)) Mag(Comag(C, G), F↑β) Bimag(C, (F, G, β)) ここで： G↑βは、G:C→C を Mag(C, F) 上の自己関手に持ち上げたも…

…描けば：ここで、絵（ストリング図）の見方を注意しておきます； 描画の方向は、↓方向が射の結合／自然変換の縦結合の方向、→方向が関手の結合／自然変換の横結合の方向です。何も書いてない背景領域は圏Cを表します。ただし、VはCの対象なので、Vの左側は自明な圏☆（ひとつの対象と恒等射のみ）だと解釈します（下図）。これは対象・射の格上げですが、格上げについては次の記事を参照してください。 対象と射を関手と自然変換に格上げする方法 圏論の計算を劇的に簡単にするための考察 (1) さて、2…