…ドを構成できます。余モナドがあれば、余クライスリ圏が作れます。対象 ごとに余クライスリ圏があるなら、全体としてインデックス付き圏が作れる可能性もあります。インデックス付き圏があるなら、ファイバー付き圏が作れます。単に対象を掛け算するだけの操作が、けっこう複雑な構造物の事例となっているわけです。余モナド／余クライスリ圏／インデックス付き圏／ファイバー付き圏などの話はまたいずれ。 *1:圏の準マルコフ構造とは、各対象に余可換余モノイド構造が装備〈supply〉されていることです。

…圏の2-圏に値を持つインデックス付き圏〈indexed category〉とかです。準マルコフ圏／マルコフ圏／条件化可能マルコフ圏などを応用に使おうとすると、それに伴うインデックス付き圏やファイバー付き圏〈{fibred | fibered} category〉が出てきてしまいます。インデックス付き圏／ファイバー付き圏を取り扱うには、それに先だって構造付き圏の2-圏を定義する必要があります。今回の2-圏の定義は、インデックス付き圏／ファイバー付き圏を使うための事前の準備です。…

…次のような反変関手（インデックス付き圏〈indexed category〉と呼ぶ）になります。ここで、 は巨大な圏 を対象として含むもっと巨大な圏です（サイズの問題は気にしないことにします）。ついでに言っておくと、圏 と インデックス付き圏 の関係は次のようです。ここでの積分記号はグロタンディーク平坦化（エンドではない）です。 として、集合 と、集合 のあいだには次のような写像が存在します。 はドイツ文字〈フラクトゥール〉で "pb" 、pullback〈引き戻し〉を意味しま…

…分解の実例：加群層 インデックス付き圏 事例：ベクトルバンドル 事例：環層 事例：集合層 事例：加群層 加群層-余インデックス付き圏 同一キャリア上の加群層の係数拡大 キャリアが異なる加群層のあいだの射 記号と言葉の約束「多様体のあいだの写像の微分」と同じ約束を採用するので、当該記事の最初の2節を参照してください。 多様体のあいだの写像の微分 // 記号の約束 多様体のあいだの写像の微分 // 言葉・記号に関する注意 ベクトルバンドルは のように書きます。この書き方については…

…は、集合圏Set上のインデックス付き圏〈indexed category〉になります。値の圏はすべてやせています。インデックス付き圏があればグロタンディーク構成ができるので、それを「グロタンディーク構成と積分記号」に従って とします。ここに出てくる平坦化圏 を（Xの）開集合族の圏〈category of families of open sets〉とします。Xの開集合族の圏を OpenFam(X) と書くことにします。Xの開集合族の圏 OpenFam(X) の射を具体的に記述…

… functor〉、インデックス付き圏の文脈では再インデキシング関手〈reindexing functor〉とも呼ばれます。モデル移行関手を使えば、異なる統計セオリー上の統計モデルを比較することができます。パターソンは、モデル移行関手の実例も出しています。例えば、線形モデルが一般化線形モデルの特殊例であることは直感的には当たり前そうですが、厳密な記述と証明は出来るでしょうか？ パターソンの動画でこの例が語られています。それからローヴェア流セオリー論（ローヴェア流モデル論でもあ…

…ンデキシング圏とするインデックス付き圏〈indexed category〉です。インデックス付き圏については次の記事参照。 インデックス付き圏のグロタンディーク構成 インデックス付き圏 F:X → Cat にグロタンディーク構成を施して得られた平坦化圏が依存和型に対応します。射影 πF:Σ(F) → X はグロタンディーク構成のファイブレーションです。 [/補足]依存積型： 型ファミリーの総積依存積型を具体的に定義するとき、（僕が）思いつく方法が2つあります。どっちを採用して…

…理における ∃ -| π* -| ∀ 述語論理とインデックス付き圏と限量随伴性 全称・存在限量子の色々をまとめた絵 集合達の直積と直和における Σ -| Δ -| Π カン拡張における上下左右： 入門の前に整理すべきこと // 随伴トリオとその例 加群層における f! -| f-1 -| f＊ 層に関してちょっと // グロタンディーク演算 *1:関係データベース用語のジョインがミートに相当し、ユニオンがジョインが相当します。順序構造のジョインをユニオンと呼ぶこともあります。

…義できます。一方で、インデックス付き圏VectBdl#[-]をグロタンディーク構成で順方向平坦化すると、VectBundleと同型な圏 ∫→VectBdl#/Man が得られます。ここで使ったグロタンディーク平坦化については「インデックス付き圏のインデックス付き対象の圏 // 4種のグロタンディーク平坦化」を参照してください。バンドルと層の用語・記号は次の記事にまとめてあります。 ベクトルバンドル射の逆写像： 記法の整理をかねて バンドルと層の記法 まとめ バンドルと層の記法…

…考えてみます。適切なインデックス付き圏のインデックス付き対象は、「ビッグ層から構成されるリトル層」にだいたい対応しそうな気がします。インデックス付き対象の具体例として、関数環の層Φを調べます。過去記事への参照が多く、懇切な説明はしていません。が、基本的な事実の確認は割とマジメに書いています。内容： 4種のグロタンディーク平坦化圏 ベース・ファイバー分解 事例：関数環層Φ インデックス付き圏のインデックス付き対象 おわりに 4種のグロタンディーク平坦化圏グロタンディーク構成につ…

…M] という対応は、インデックス付き圏 Bdl[-]:NbMan→CAT contra に拡張できます（'contra'は反変関手であることを示す目印です）。このインデックス付き圏にグロタンディーク構成を施して（一般的な）バンドルの圏を作ります。 Bundle := ∫Bdl/NbMan = ] 主等質空間の圏 主等質空間は、過去に触れたことはありますが、ここで定義を最初から述べます。まず、位相もなめらかさも入らない主等質集合の定義から。G = (G, ＊, e) が群で、X…

…デキシング圏〉とするインデックス付き圏 D:C→CAT は、通常の圏と区別するために、D[-] のような書き方をします。D[-] からグロタンディーク構成して得られた圏（平坦化圏〈flattened category〉）は、∫C D[-] と書いてきましたが、もっと短く ∫D/C とも書くことにします。これは、「ベース圏C上の、インデックス付き圏D[-]の平坦化圏」の意味です。 ベース圏Cが了解されているときは、単に∫Dとも書きます。インデックス付き圏D[-]を（グロタンディ…

…Grp→CAT は、インデックス付き圏〈indexed category〉になります。インデックス付き圏があれば、グロタンディーク構成〈Grothendieck construction〉ができます。インデックス付き圏のグロタンディーク構成については、次の記事とそこから参照されている記事を（必要なら）読んでみてください。 グロタンディーク構成と積分記号 グロタンディーク構成の例は、検索結果を眺めてください。 「グロタンディーク構成」のブログ内検索結果 さて、一般的な左主等質集…

…ーン五角形・三角形 インデックス付き圏を拡張してファイバー付き圏へ 法則の記述法としては、次の記事も参考になるかも知れません。 マックレーンの五角形をインデックスなしの等式で表す 上記記事内で、マックレーンの五角形を次のように描きました。これもストリング図書き換えによる描画です。同じ描画法で、ラックス・モノイド関手の結合律と左単位律を描いてみると次のようになります。右単位律は左単位律と同様なので省略。 タイト・モノイド関手、反ラックス・モノイド関手のときも使えるように、書き換…

…ょっと 次の記事は、インデックス付き圏の拡張としてのラックス関手についてです。 インデックス付き圏を拡張してファイバー付き圏へ ラックス関手という概念は、通常の関手（1-圏のあいだの1-関手）とはだいぶ違います。2つの双圏のあいだの対応というよりは、2つの双圏をもとにして作られたモノイド類似代数構造と捉えたほうがいいでしょう。3-圏のホム2-圏圏の2-圏 Cat において、Cat(C, D) は単なる集合ではなくて圏になります。なので、Cat(C, D) はホム圏と呼ばれます…

…などの書き方 指標とインデックス付き圏に関わる記事： 指標のパラメータ化とグロタンディーク構成 コジュール接続の圏 セクション空間関手がとても便利な理由 モノイド対象と単体的対象 これらの記事達の背後にある動機について書いておこうかな、でないと「なんだこれ？」になりそうだから。内容： シュバレー／アイレンベルク代数とシュバレー／アイレンベルク関手 リー亜代数 接バンドルのリー亜代数とド・ラーム複体 微分インフラとシュバレー／アイレンベルク関手 シュバレー／アイレンベルク関手の…

…ドルの圏を対応させるインデックス付き圏で、VectBdl○[-]:Manop→CAT すべてアスタリスクを使っているので、f:M→N in Man に対して： f* = T○(f) :T○(M)→T○(N) f* = (C∞)○(f) :(C∞)○(N)→(C∞)○(M) f* = Ω○(f) :Ω○(N)→Ω○(M) f* = VectBdl○[f] :VectBdl○[N]→VectBdl○[M] これは辛すぎます。多少のオーバーロード〈多義的使用〉は許すとして、例えば、…

…-]:C→CAT はインデックス付き圏になります。インデックス付き圏にはグロタンディーク構成（「グロタンディーク構成と積分記号」参照）ができるので、圏Cに対する被覆の圏〈category of covers〉 Cover(C) を次のように定義します。 インデックス付き圏 Cov[-]:C→CAT と、そのグロタンディーク平坦化である Cover(C) により、圏C上に被覆構造が与えられます。つまり、Cはサイトになります*2。巨大層へ前節の手順で、開射を持つ圏Cをサイトに仕立…

…ると： Γは、2つのインデックス付き圏のあいだのインデックス付き関手になっている。 ミクロレベルで（単一の多様体Mに注目して）見ると： ΓMは、2つのコンパクト閉圏のあいだのコンパクト閉関手である。 ΓMは、自明スカラーバンドルで表現される、表現可能共変関手である。 これらの事実を、取り急ぎ記しておきます。内容： インデックス付き圏とインデックス付き関手 セクション空間関手の場合 コンパクト閉構造 セクション空間関手の表現対象 インデックス付き圏とインデックス付き関手インデッ…

…ペアの圏 共変微分のインデックス付き圏とグロタンディーク構成 曲率 コジュール接続バンドルの「接続」には色々な種類があります。 接続の種類 接続を載せる対象物 定義の手段 エーレスマン接続 任意のバンドル 水平部分空間の分布 主接続 G-主バンドル Gのリー環に値を取る微分形式 コジュール接続 ベクトルバンドル セクション空間の共変微分作用素 他にもあるかも知れませんが、よく使われる接続はこの三種類でしょう。エーレスマン、コジュールは人名です。 シャルル・エーレスマン〈Cha…

…造を持つバンドルの、インデックス付き圏 Bdl = ManBdl[-] -- Man上の{ファイバー}?バンドルのインデックス付き圏 VectBdl[-] -- Man上のベクトルバンドルのインデックス付き圏 AlgBdl[-] -- Man上の代数〈多元環〉バンドルのインデックス付き圏 GrpBdl[-] -- Man上の群バンドルのインデックス付き圏 G-PrinBdl[-] -- Man上のG-主バンドルのインデックス付き圏 層の圏： CSh[-] -- Man上の、値…

…tegory〉とするインデックス付き圏になります。パラメータ付き指標 (Δ)Σ' からこの手順で作られたインデックス付き圏を 《(Δ)Σ'》 と書きます。 《(Δ)Σ'》:〚Δ〛→CAT （インデックス付き圏） インデックス付き圏があれば、グロタンディーク構成ができます。グロタンディーク構成に関しては、「グロタンディーク構成と積分記号」で述べた記号法を使って、《(Δ)Σ'》の平坦化圏を次のように書きます。 あるいは無名変数（ハイフン）を使って、 グロタンディーク構成は、平坦化…

…けです。 修正前： インデックス付き圏 VectBdl[-] のグロタンディーク平坦化圏が VectBundle である。 修正後： インデックス付き圏 VectBdl[-] の順方向グロタンディーク平坦化圏が VectBundle である。 「順方向」の一語を追加して、「順方向グロタンディーク平坦化圏」は記事「グロタンディーク構成と積分記号」へのリンクとしました。一語修正が予告をするほどのことかと思うでしょうが、この一語修正は重要なんです。その説明を以下にします。E, F …

… ナントカバンドルのインデックス付き圏と、そのグロタンディーク平坦化の関係が曖昧でした。「グロタンディーク構成と積分記号」で書いたように、グロタンディーク平坦化には次の種類があります。 インデックス付き圏の順方向平坦化 インデックス付き圏の逆方向平坦化 余インデックス付き圏の順方向平坦化 余インデックス付き圏の逆方向平坦化 そうすると、次の言い方は、どの平坦化を使っているか分からないので曖昧です。 インデックス付き圏 VectBdl[-] のグロタンディーク平坦化圏が Vec…

…[-] は全体としてインデックス付き圏〈indexed category〉になります。VectBundle と VectBdl[-] の関係は次のとおり。 インデックス付き圏 VectBdl[-] の順方向グロタンディーク平坦化圏が VectBundle である。 VectBdl[-] からのグロタンディーク構成で得られるファイバー付き圏は、Base:VectBundle→Man です。ここで、Baseはベクトルバンドルにその底空間を対応させる関手です。今までの話で、ファイバ…

…よる）。「述語論理とインデックス付き圏と限量随伴性」へのコメント： ≪…トポスがあれば（高階の）述語論理の入念な議論…≫との事を、 ライプニッツの「理性に基づく自然と恩寵の原理」の『《モナド》』に『自然比矩形』を［同定］すると≪…トポス…≫に観えて、『《モナド》写像（関数）』が『次元の数』と生り［位相］の［数学概念］を［内在秩序］化し、［数学共同体の自然数］が『縮約（縮退）自然数』として『天賦』し・させていると観る。まったく意味不明ですが、スパムでもないので放置しました。しば…

…す。Bdl[-] をインデックス付き圏と考えて Bundle を構成する方法（グロタンディーク構成）もありますが、今は触れません。バンドルチャートとバンドルアトラスファイバーバンドル (E, B, F, π) の定義には局所自明性が含まれます。局所自明性で述べられている同型 E|U→U×F を局所自明化〈local trivialization〉と呼びます。(E|U, U, F, π|U) はファイバーバンドルになり、(U×F, U, F, π1) もファイバーバンドルなので…

…う）にすべきです。余インデックス付き圏〈coindexed category〉から作られたファイブレーションは反ファイバー付き圏になります。が、「ファイバー付き」を「ファイバー付き、または反ファイバー付き」と解釈してもらえればいいので、修正はしません。[/追記]内容： インデックス付き圏のグロタンディーク構成 平坦化圏とファイバー付き圏 射のパートと方向 余インデックス付き圏 事例： 加群に至るファイバー付き圏の系列 体の圏 可換環の圏 加群の圏 用語・記法の補足とまとめ イ…

…ると、前層／層の圏はインデックス付き圏〈indexed category〉または余インデックス付き圏〈coindexed category〉になります。インデックス付き圏／余インデックス付き圏のどちらになるかは、前層／層の引き戻しを使うか、それとも前送りを使うかによります。インデックス付き圏 Bop→CAT または余インデックス付き圏 B→CAT *3が作れれば、グロタンディーク構成〈Grothendieck construction〉（「インデックス付き圏のグロタンディーク…

「インデックス付き圏を拡張してファイバー付き圏へ」にて、 この辺のことを知るには、今から14年前に紹介したことがあるアンジェロ・ヴィストリのテキスト（解説論文）を拾い読みするといいかもしれません。 と書いたので、ヴィストリ〈Angelo Vistoli〉のテキストを眺めてみました。その感想をダラダラと書きます。前の記事への追記だけど、長めなので別エントリーにします。ヴィストリのテキストは全114ページでけっこう長い。ですが、僕が読んだ部分は（14年前も今日も）第3章（44p-…