…リング図の構成素は「ボックスとポート」だと考えます。ストリング図を、ボックス＆ポートの集まりと考えると、繋がり具合の記述が少し楽になります。$`% \require{color} \newcommand{\di}[1]{\textcolor{orange}{#1} } % dummy index % 使う %`$内容： 同値なグラフ セマンティックラベルと識別ラベル ノード＆ワイヤー方式 ボックスとポート ボックス＆ポート方式 [追記] ETBダイアグラム 関連記事群のハブ記…

…身が見えないブラックボックスであっても正しく演算して組み合わせることができます。組み合わせに必要な情報はプロファイル（自然変換のインターフェイス）だけです。表面に模様が描いてある方体〈キューブ〉を3つの方向に並べるという比喩（メンタルモデル）は、非常に直感的で、複雑なデカルト2-圏の演算を馴染みやすくしてくれます。このような発想と手法は、一部では昔から使われています。次の図は、ギロー〈Yves Guiraud〉の "The three dimensions of proofs…

…ング図のテキスト化：ボックス＆ポート方式 行列の書き方行列は、主に線形写像を表現するために使われ、次のような書き方をします。$`\quad A = (a_{ji})`$もとの意味（線形写像）を離れて行列自体を見てみれば、それは実数値関数です。$`\quad A : I\times J \to {\bf R}`$関数を表す標準的記法であるラムダ記法で書くなら：$`\quad A = \lambda\, (i, j)\in I\times J. A(i, j)`$関数である $`…

…す無名ラムダ変数で、ボックスは関手と自然変換を表す無名ラムダ変数です。無名変数に代入した一例は：$`\quad {\bf YO}_{\cat{C}, \cat{D}}(\alpha)(X, A) := \cat{D}(X, A.\alpha) : \cat{D}(X, A.F) \to \cat{D}(X, A.G) \In {\bf Set} `$第一種米田埋め込みと第二種米田埋め込み第一種米田埋め込みは、第二種米田埋め込みの特別な例と考えることができます。第二種米田埋め込…

…流の三角・菱形 関手ボックス 米田ご利益ツールズ シーケント構成 米田埋め込みと図式変形 おわりに 追記（ネーミングで悩む） シリーズ目次（リンク）： 米田テンソル計算 1： 経緯と発想 （この記事） 米田テンソル計算 2： 準備 米田テンソル計算 3： 米田の「よ」、米田の星、ディラックのブラケット 再論 米田テンソル計算 4： 米田埋め込み 関連する記事： ホム関手とサンドイッチ結合 ニンジャ米田の補題と本家・米田の補題 米田テンソル計算の発端「圏論的レンズ 4： テレオ…

…ビネータ〉の表現は、ボックスを使う場合が多いです。例えば、モナドのクライスリ拡張オペレーターなら、射のノードを“拡張ボックス”で囲みます（以下の図）。ただし、対象と射を関手と自然変換に“格上げ”している図なので解釈は少しややこしいです（詳細は「絵算で見る、拡張スタイルのモナドとモノイド・スタイルのモナド」参照）。簡単なオペレーター〈コンビネータ〉の場合は、ワイヤーベンディング〈曲げ〉によってオペレーターの作用を表現できます。マルコフ圏の条件化オペレーターがその例で、描画方向「…

…クラスター、ブラックボックス化、反ブラックボックス化」参照）hを考えます*1。h:W → AB in C の成分表示は次のようになります。図の上から下をテキストの左から右へと翻訳します。 対角射ΔAが省略さてます。その代わりに対角射を表す変数3回出現に下線を引いています。 ' 'はテンソル積由来の掛け算記号です。 ' 'は結合由来の掛け算記号です。変数名は、総和記号の変数と呼応します。 は、クロネッカーのデルタと同じで、x = x' のところだけが残り他はゼロなので、次のよう…

…クラスター、ブラックボックス化、反ブラックボックス化 オペレーターボックス アレンジメント計算のオペレーター 確率空間と注釈ボックス おわりに シリーズ第1回 兼 リンクハブ： アレンジメント計算 1： 確率グラフィカルモデル クラスター、ブラックボックス化、反ブラックボックス化今、目の前にストリング図があるとしましょう。そのストリング図の一部分、つまり部分ストリング図〈subdiagram〉を“ひとまとまり”にしたいとき、当該の部分ストリング図を境界線で囲めばいいでしょう。…

…データとしてブラックボックスであるアレンジメントが与えられて、未知のメカニズムを推測することが多いでしょう。その場合、アレンジメントのメカニズム、つまり組み立て方や内部構造を記述する手段がないと何も出来ません。アレンジメント図、より一般にはストリング図がその記述手段を与えてくれます。今回のセッティング圏論的確率論を具体的に展開するには、具体的に構成されたマルコフ圏Cと、Cの標準簡約多圏Pをベースにします。今回のケースでは、マルコフ圏Cを次のように作ります。 集合圏Set上の{…

…ジメント図のブラックボックス化〈blackboxing〉といいます。与えられたアレンジメント図に対して、「アレンジメント 因子ノード、ワイヤー／分岐／破棄 変数ノード」と対応付けることにより、境界付き無向因子グラフに翻訳〈変換〉できます。今、翻訳の規則を述べることはしまんせが、例をひとつ挙げます。因子ノードにおける“辺への全順序割り当て”だけ番号で記述しています。マルコフ圏とマルコフ多圏アレンジメント図は、ストリング図の一種です（形状の自由度が制限されている）。ストリング図に…

…on〉 オペレーターボックス〈operator box〉 これらの技法を使う実例としてモナドの定義を扱う、と言ったほうがいいかも知れません。この記事は絵算の練習問題と捉えましょう。絵算、図式順記法、格上げについては、次の記事と、そこから参照されている記事を見てください。 絵算をはじめた人への注意 オペレーターボックスは、関手ボックスを、関手とは限らないオペレーター〈コンビネータ〉にまで拡大して利用する手法です。アイディアは関手ボックスと同じです。関手ボックスについては、「絵算…

…列入力用のダイアログボックスが出るのが常識的なUIです。VSCodeも、もちろんそうなっています。僕が今使っているEmacs Friendly Keymapでは、ダイアログボックスのキーバインドまで変更が及ばず、検索文字列入力時は標準キーバインド（僕にとっては使いにくい）です。VSCodeレベルでの対処方法が分からないので、AutoHotKeyで（「プログラミング言語としての AutoHotKey」参照）グローバルにホットキー設定をしました*1。次のようです（Ctrlキーとの…

…名前を聞くダイアログボックスを出して挨拶をします。AHKスクリプトとは、基本的にはコマンドラインを並べたものです。コマンドラインは次の構文です。 コマンド名 （コマンド名だけ） コマンド名 カンマ 引数1 （引数が1個） コマンド名 カンマ 引数1 カンマ 引数2 （引数が2個） コマンド名 カンマ 引数1 カンマ 引数2 ...（引数がn個） コマンド名のすぐ後のカンマはたいてい省略可能ですが、場合によっては省略できません。例外を見極めるのが難しいので、念のためにコンマを付…

…には与えず、ブラックボックスのまま扱う説明方法です。心理的なインパクトゲーデルの不完全性定理が人々を驚かせる理由として、データ領域に自然数の全体Nを使っていることが大きいと思います。自然数は、ほんとに初等的なデータで、知らない人はいません。自然数の計算は、みんな慣れ親しんだ操作です。そんな自然数に関する命題のなかに、証明も反証（否定の証明）もできない命題があるなんて、ビックリですよね。自然数は分かりきっているモノと感じているからです。これが、複雑怪奇・謎なデータ領域Dに関する…

…う」で説明した∀導入ボックスです。π2*(Q) を Q' と略記しています。Q'(x, y) := Q(y) 。Q'にxは出現しません。 存在限量子のまとめの絵記号は全称限量子のときと同じです。 絵の各部の説明 1行目は、∃:Pred[X×Y]→Pred[X] と π2*:Pred[X]→Pred[X×Y] が随伴対であることを主張しています。 その下は、ホムセット同型による随伴対の記述です。 その下は、関手の随伴対を図式で表現したものです。 一番下の段は、証明における∃の使…

… 全称命題を準備するボックスを使ってみよう： 最小元の存在 背理法も使ってみる： 最大元の非存在 おわりに 全称記号と存在記号に関する推論規則全称記号∀を含む命題と存在記号∃を含む命題に対する推論規則は、それぞれに導入規則〈introduction rule〉と除去規則〈elimination rule〉があり、合計で4つの規則となります。論理の教科書によくあるスタイル（望ましいスタイルとは思ってない）で規則を書くと： P ∀x.P ------------[∀導入] ---…

… 存在命題を料理するボックスを使ってみよう： 反対称律 もっとボックスを使ってみよう： 推移律 おわりに 関連する記事： 論理の全称記号∀も存在記号∃もちゃんと使えるようになろう 全称記号と存在記号に関する推論規則 全称命題を準備するボックスを使ってみよう： 最小元の存在 背理法も使ってみる： 最大元の非存在 おわりに 全称記号・存在記号の練習：集合と写像の話題から はじめに「イプシロン-デルタ論法はなぜ難しいのか？ どうしたら分かるのか？ 分かる必要があるのか？」に、次のよ…

…も、右側の証明部分をボックスで囲んでいるのはやっぱりマシです。このボックスで囲まれた部分の証明を、サイド証明〈サブ証明 | 補助証明〉と呼ぶことにします。サイド証明があるなら、当然にメインの証明があります。メイン証明を左側に、サイド証明を右側に書くようにすると、次のようになります。すぐ上の規則とは記号が違っています； φ→P, x0→a, χ→Q と対応してます。記号の選び方は趣味の問題で、どうでもいいものです。 メイン証明 : ∃x.P -------+-[変数a]-- |…

…-+ Qを使ってよいボックス（ブロック）の内部がaを使った推論が行われる範囲です。Qはaを含まない命題です。aを含まないのでボックスの外に持ち出してもいいのです。前節の例ならば： …… 仮定に ∃x∈X.(f(x)∈B ∧ f(x) = y) があるので ∃x∈X.(f(x)∈B ∧ f(x) = y) を使ってよい +---------------------------------+ | f(a)∈B ∧ f(a) = y であるaを選ぶ | f(a)∈B ∧ f(a) …

…るのを明示するため、ボックスの隅に黒い印を描いています。fは上下も左右もひっくり返っているのです。文字'x'や'A'は変換しても形があまり変わらないので、'a', 'L', '≦', ';'などの文字のひっくり返し／裏返し、それが出来たら短い文字列のひっくり返し／裏返しを練習するといいでしょう。コーヒーでも飲みながら僕は飲食店の紙ナプキンで、絵と文字の変換の練習をします。文字'h'とアローヘッドが半分の矢印を、8種の方向で描いてみます。アローヘッドが半分の矢印とは、ハープーン…

…入と除去の規則 証明ボックスを使った図示 チャンとした∀導入の方法 シーケントによるリーズニング記述 全称限量随伴性と∀導入リーズニング規則 全称記号の導入と除去の規則自然演繹の推論規則（の図）で、全称記号'∀'の導入（introduction）と除去（elimination）は次のような形です。 P -------[∀導入] ∀x.P ∀x.P ----------[∀除去] P[x:=t] まー、見た目は簡単です。「自然演繹はちっとも自然じゃない -- 圏論による再考」で…

…うエントリーで、電話ボックスやピンク電話の話を書きました。「今じゃそんなものはないだろう」という感慨を述べたのですが、公衆電話が絶滅しているわけではないようです。公衆電話からの着信があると、相手の電話番号が出るわけでもなく非通知と表示されるわけでもなく、「公衆電話から」の旨が表示されるそうです（僕は経験ありませんが）。非通知には出ない主義の人は、「公衆電話から」にどう対応するでしょうか？ 僕なら、携帯を落とした、とか電池切れとかの状況で連絡してきたのかも知れないと想像して出る…

…-射 頂点（ドット、ボックス、丸など） モノイド圏の場合は、暗黙の（言及されない）0-射を表す平面領域が単色（または無色）だったのに対して、2-圏では様々な色（あるいはラベル）で識別されます。絵の実例に関しては、「絵算のススメ 2015 年末版」で紹介したマースデンの論文などを参照してください。2-圏のあいだの2-関手、特にラックス2-関手の図示にはマッカーディのストライプ図を使うのが便利です。ストライプ図については、次の記事を参照してください。 モノイド関手／ラックス・モノ…

…明）の歌詞は、 電話ボックスの外は雨、かけなれたダイアル回しかけて、ふと指を止める。 もはや「電話ボックス」を見ることはないし、「ダイアル回す」こともないですね。屋外の電話ボックス以外に、飲食店などに設置されたピンク電話という公衆電話もありました。*1*2なんでそんなことを思い出したかというと、さきほど大通り沿いのカフェでコーヒーを飲んでるとき、少しあわてた感じのおじいさんが入ってきて「電話はありませんか？」と店員さんに聞いてきたのです。もちろん返事は「電話はありません」。昔…

…観測は網羅的ブラックボックス・テストと解釈できます。FとGの振る舞いが一致することは、「実装FをGに取り替えても気付かれない」という意味でリスコフ置換可能性です。次のように言っていいでしょう。 Fの振る舞いとGの振る舞いは一致する ⇔ FとGはリスコフ置換可能である 「メイヤーオートマトンに関するマイヒル／ネロードの定理を宣伝する」では次のように説明しています。 メイヤーオートマトンは、Command-Query分離されたインターフェース（メイヤー指標）の実装ですが、「アプリ…

…^;）。射f, gをボックスで描くのは見やすくするためで、射は0次元の点で、対象が1次元の線です。次元に忠実に描くと：この図形は平面に描いてあるとします。すると、X, Y, Z, Wは、閉区間 [0, 1] と同相な図形なので、なめらかな埋め込み写像 x, y, z, w:[0, 1]→R2 で定義できます。射を表す0次元セルは、x(1) = y(1) = z(0) がfの点、z(1) = w(0) がgの点、となります。外の空間（キャンバス）であるR2をアプリオリには考えな…

…かで描くために、関手ボックス（functor box, functorial box）や関手シース（functor sheath）を使います。左が関手ボックスです。関手の名前でラベルされたボックスは覗き窓で、内部には圏Cの様子が見えます。右に描いた関手シースでは、帯状の領域内に圏C側の様子を描きます。関手の識別にはラベルよりはシースの色が使われることが多いですね。僕の手描きの絵では薄い水色がFの色です。ちなみにシースというのは、電線（例えば同軸ケーブル）の外側を包むビニルやゴ…

…、構造規則は回路図（ボックス＆ワイヤー図、ストリング図）と相性がいいのです。一般的な「n-入力 m-出力」の回路図の全体は、圏というより多圏（polycategory）という構造を作るのですが、お絵描き計算には非常に都合がいい舞台です。 2011年1月 デカルト閉圏を計算するスタックマシン、シーケント計算、カリー／ハワード対応 タプルの一変数じゃなくて多変数の関数を扱うなら、普通の圏より複圏（multicategory）のほうが便利です。多値関数も含めるなら多圏（polyca…

…と：等号ノード、関手ボックス テキスト記法の問題点 マースデンの r∈G(X) の図示 絵算のススメ ストリング図は流派が乱立ストリング図の利用はポピュラーになってきましたが、その描き方がキチンと決まっているわけではありません。人により描き方はまちまちです。「絵算（ストリング図）における池袋駅問題の真相」で、代表的な絵算使い9人（7人＋1組）の描き方を紹介しています。射の結合とテンソル積（モノイド積）をどの方向に描くかを表にまとめたものが次です。絵のサンプルは「池袋駅問題の真…

…す。実験に使うサンドボックスドメインは画面中央下に表示されています。さっそくにメール送信のテストをしましょう。setup-env.shに、メールの受取人アドレス、APIキー、サンドボックスドメインの設定を追加しておきます。 # setup-env.sh export PARSE_APPLICATION_ID=×××××××××××××××××××× export PARSE_REST_API_KEY=×××××××××××××××××××× export MAIL_RECIP…