「有向コンテナと多項式コモナド」にて： モノイド類似構造である有向コンテナ〈圏〉構造が、多項式自己関手を台とするコモノイド構造として反映されるわけです。面白いですね。 面白そうなので、アーマン／ウウスタル〈Danel Ahman, Tarmo Uustalu〉以外の…

ある文脈では、図式と関手は同義語です。したがって、（ある文脈では）図式の圏とは関手圏のことです。図式の圏〈category of diagrams〉といった場合は、単一の関手圏ではなくて、域が異なる関手も含みます。つまり、図式の圏は、域に関してヘテロジニアス…

「有向コンテナと多項式コモナド」の続きの話をしたいわけですが、まずは、コンテナ／多項式界隈の、概念・用語・記法のしっちゃかめっちゃかを整理するところから書き始めました。そしたら、一般論がだいぶ長くなってしまいました。一般論の部分を別記事に…

コンテナ〈container〉は、アーボット／アルテンキルヒ／ガニ〈Michael Abbott, Thorsten Altenkirch, Neil Ghani〉等によって導入された、型理論と圏論に関わる概念です（「圏論的コンテナ」参照）。有向コンテナ〈directed container〉は、コンテナにモノ…

プロ関手〈profunctor〉は、分布子〈distributor〉、双加群〈bimodule〉とも呼びます。関数〈function〉の一般化が distribution〈シュワルツ超関数〉だから、関手〈functor〉の一般化は distributor だろう、ということらしいです。"distribution" は意訳さ…

またダジャレです。「それでもカン拡張の左右を忘れてしまう」において、左右を憶えるために次のような随伴トリプルを出しました。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\hyp}{\text{－} } \newcommand{\two…

スケマティック系（「スケマティック系のために： 雑多な予備知識 // 絵図的手法とスケマティック系」参照）に関連して、圏の骨格を扱う必要があるのですが、意外とめんどくさい。一番典型的だと思われる、有限次元ベクトル空間の圏の骨格を事例として、圏の…

ここで言うテンソルは、圏論的に言えば、モノイド圏やトレース付きモノイド圏の射のことです。幾つかのインデックス〈添字〉が付いた配列みたいなモノと思ってもいいです。絵に描くと、脚〈legs〉が出た“テンソルボックス”達をワイヤーで繋いだ図形になりま…

「コレクション、対称性、シーケンス、色付け」において、構造（例えば全順序構造）が載った有限集合を「コレクション」と呼びました。データ構造としてのコレクションはそういったものなのでまー妥当だろう、と。しかし、コレクション〈collection〉は他の…

「スケマティック系のために： 雑多な予備知識 // Diag構成」でDiag構成について述べました。Diag構成を特殊化すると既存の色々な構成法になるので、Diag構成は、様々な構成法を包括的に扱うフレームワークとなります。また、「一般化されたファミリーの圏」…

集合圏における多項式関手の定義に、次の図式（多項式関手の表現図〈representing diagram〉）が登場します。$`\quad\xymatrix{ I & B \ar[l]_{s} \ar[r]^{p} & A \ar[r]^{t} & J }\text{ in }{\bf Set}`$なんでこれが多項式関手の定義なんだ？ と思います。…

「群の作用がナントカ（形容詞）」という文言にたまに出会います。毎回意味を調べるのですが、憶えられない。毎回忘れる。https://mathworld.wolfram.com/ で調べてみます。$`\newcommand{\Imp}{ \Rightarrow }\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}`$ 自由〈fr…

2009年に書いた記事： ジラーとギロー そこで話題にしたのは、 線形論理の創始者である Jean-Yves Girard 高次元の証明論をやっている Yves Guiraud 同一人物かと思ったが別人で、名前の読み（カタカナ表記）は「ジラー」「ギロー」がよいかな、と。そんなこ…

以下のナタニエル・アーカーとディラン・マクダルメットの論文に、カン拡張と同様な、“左または右”の“拡張または持ち上げ”（正規表現で書くなら {左 | 右}{拡張 | 持ち上げ}）の定義が出てきます。 [AM23] Title: The formal theory of relative moanads Aut…

バエズ／ドーラン・ツリーは、視覚化可能な組み合わせ構造で、その定義は純組み合わせ的〈purely combinatorial〉であるのが望ましいのです。しかし、純組み合わせ的な定義や説明は面倒で分かりやすくありません。幾何的定義を併用したほうが直感的な理解が…

シリーズ・ハブ記事： データベース:: テーブルのキーって何なのよ？ 以下の3つの過去記事で定義した／使った記法と用語をまとめておきます。 データベース:: テーブルのキーって何なのよ？ データベース:: テーブル構造とデータベース構造 データベース:: …

「スケマティック系のために： 雑多な予備知識」から： スケマティック系〈schematic system〉は、絵図的手法を支える素材、道具、機器〈マシナリー〉一式を含んだシステムです。スケマティック系のハッキリとした定義はまだないです。が、スケマティック系…

ストリング図はボックス＆ワイヤー図とも呼ばれます。「ボックス」の意味はちょっと曖昧です。「バエズ／ドーラン・ツリー： 色々な描画法」で、かなりクリアになったと思います。「注意点のまとめ」に曖昧性についても書いてあります。ストリング図の「ボッ…

バエズ／ドーラン・ツリー〈Baez-Dolan tree〉は、オフィシャルには組み合わせ的構造です、視覚化のために3次元または2次元の空間のなかに描き出し〈レンダリングし〉ます。3次元空間内に、幹や枝がパイプになっているツリーとして描くことが標準的描画法で…

小ネタです。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}\newcommand{\hyp}{\text{－} }`$ 「米田テンソル計算 3： 米田の「よ」、米田の星、ディラックのブラケット 再論 // 米田の星と米田埋め込み」で次のように書きました。…

絵図的手法とは、視覚化可能な組み合わせ構造〈visualizable combinatorial structure〉を使って代数系や現実のシステムを記述・計算する方法・技術です。視覚化可能な組み合わせ構造の重要な種別として半グラフ〈semi-graph〉があります。半グラフは1次元の…

ストリング図を描く際に、ボックス〈ノード〉は基本的かつ重要な描画要素です。絵に描いたボックスに対応する組み合わせ構造はいったい何なのでしょう？ ボックスは、色付きコレクションの視覚化なのだとみなすのが良さそうです。なので、この記事では色付き…

すべての小さい2-圏（厳密2-圏とは限らない）達を対象とする3-圏 $`{\bf 2Cat}`$ があります。$`\mathcal{K}, \mathcal{L} \in |{\bf 2Cat}|`$ のとき、ホム2-圏 $`{\bf 2Cat}(\mathcal{K}, \mathcal{L})`$ が構成できます。ホム2-圏のk-射を(2, k)-変換手〈…

一応書き終わってはいるのですがまだ投稿してないブログ記事があります。そのなかで、ちゃんと定義するのがめんどうなので雰囲気的な説明だけした上で、“生〈なま〉の2-関手”と“生〈なま〉の2-自然変換”という言葉を使っています。気持ちとしては、「料理の…

スケマティック系〈schematic system〉というものを考えているのですが、そのために（たぶん）必要なことを順不同で書いていきます。ひとつの節でひとつのトピックを扱います。節から節へ、ゆるい流れはありますが、節と節とのあいだに強い関係性はないです…

この記事内では、「型」と「集合」は同義語です。つまり、sets-as-types の立場をとります*1。集合〈型〉のファミリー〈族〉があったとき、それからシグマ型とパイ型を構成できます。この構成は、次のような写像を与えます。$`\quad \sum, \prod: |{\bf Fam}…

「代数」は色々な意味で使われる曖昧多義語です。代数学という数学の分野を「代数」と呼ぶことがあります。掛け算を持つベクトル空間（より一般には加群）を「代数」と呼ぶこともあります。ここでの「代数」は、特定の代数系（例えば群とか環とか）ではなく…

「抽象テンソルシステムは縮約付き色彩的モノイド・スピシーズ」において、キッシンジャー〈Aleks Kissinger〉の抽象テンソルシステムを、色パレットとスピシーズを用いて再定義しました。再定義された抽象テンソルシステムは、色概念を導入しているので色彩…

アーレクス・キッシンジャー〈Aleks Kissinger〉の抽象テンソルシステムは、テンソル計算の手順的側面の抽象化として便利です。が、ラベル集合とリラベリング写像の扱いがイマイチな感じがします。アンドレ・ジョイアル〈André Joyal〉のスピシーズ〈組み合…

「絵図的手法： 中間整理」を書いた後で、つまり昨日、ダンクソ／ハラーチェバ／ロバーツォンの次の論文を見つけてザッと眺めてみました。 [DHR20] Title: Circuit algebras are wheeled props Authors: Zsuzsanna Dancso, Iva Halacheva, Marcy Robertson S…