…セットを定義する際のストリング図と、ホムセットの要素（つまり射）のストリング図は無関係ではないのですが、どういう関係があるかハッキリしない。これがハッキリしたら楽しい気がします。 内容： 反射的無向グラフ 一般化反射的グラフ 反射的無向グラフ 反射的有向グラフ 反射的複グラフ 反射的多グラフ プロファイルごとの辺集合 ＝ ホムセット 反射的無向グラフ 反射的有向グラフ 反射的複グラフ 反射的多グラフ 一般化グラフの有向性 一般化圏へ 反射的無向グラフ無向グラフの定義の仕方は色…

…の議論は、下のようなストリング図を使って進めるのが効果的です（「圏論的レンズ 2： 具象オプティック」より）。しかし、毎回ストリング図を描くのは大変なので、図だけでなくテキスト記法も欲しいのです。図の情報を律儀にテキストにエンコードすると、とても煩雑になります。テキトーにサボらないとやってられません。古典テンソル計算がサボる手法を提供してくれます。米田テンソル計算の目的は、集合圏に値を持つ多引数〈多変数 | 多項〉関手の記述と計算を、古典テンソル計算にならった記法で行うことで…

…ンカレ双対をとって、ストリング図／サーフェイス図で描くという手段もあります。視覚的な表示〈ビジュアライゼーション〉ではなくて、テキストに書き下すこともできます。やはり「球体集合と組み合わせ幾何」からの再掲ですが：$`\T{signature } X \: \{\\ \quad \T{0-cell }A, B, C, D\\ \quad \T{1-cell }f, f', f'' : A\to B\\ \quad \T{1-cell }g : C\to B\\ \quad \T…

…論しています。 層化ストリング図 // 裏返し反変関手 -- rev記法を導入 反対圏／反変関手と、2-圏のストリング図 -- プラスマイナス記法を導入 反対圏と反変関手はややこしい 右肩の op(...) 記法を導入、上矢印記法も導入したが、後でオーバーライン記法に置き換えた。 状態遷移系としての前層・余前層・プロ関手 -- オーバーライン記法を導入 米田埋め込みとプレックス球体集合の定義を反変関手とするほうが多数派なのは、おそらく米田埋め込みのセッティングが反変関手だから…

…呼びます。もちろん、ストリング図やペースティング図も図式です。なんらかのターゲット圏に描出〈rendering〉されたストリング図／ペースティング図は、関手（あるいは関手類似物）とみなせますが、描出する前の組合せ幾何的対象物も図式と呼ぶので、全体的に辻褄を合わせるのは難しいです。無理にコジツケないで、用語のコンフリクトが起きたと割り切ったほうが（少なくとも精神衛生上は）よいと思います。関手を図式と呼ぶとき、関手の域圏〈domain category | source cate…

…手はややこしい 層化ストリング図 // 裏返し反変関手 順方向余平坦化ファイブレーションでは、ベース圏である $`\mbf{CAT1}`$ の対象 $`\cat{C}`$ に対するファイバー〈局所圏〉は、$`\cat{C}`$ 自身です。$`\mbf{CAT1}`$ の射 $`F:\cat{C}\to \cat{D}`$ に対するファイバー〈局所圏〉間の関手は、$`F`$ 自身です。逆方向余平坦化ファイブレーションでは、ファイバーが反対圏 $`\cat{C}^\op`$ 、フ…

…手2-圏の代数構造とストリング図表現 例えば、等式的2-グラフ（「等式的2-グラフ（2-圏の記述のために）」参照）を「指標」と呼ぶことにして、編入子は、等式的2-グラフから2-圏を構成（自由生成と商構成）する関手だとします。$`\quad J : {\bf Eq2Graph} \to \dimU{\bf 2CAT}{1} \In \mathbb{CAT}`$この設定におけるモデル空間の一例は：$`\quad \mrm{Model}(\Sigma, \cat{K}) := {_…

…手2-圏の代数構造とストリング図表現」で記述を試みてます（完全には実行できてない）。参考になりそうなn-圏に関する過去記事を古い順に挙げます。「等式的2-グラフ（2-圏の記述のために） // 具象指標、コンピュータッド、グラフ」の過去記事リストとは重複していません。 n-圏とは何だろう (2008年) ファンタジー： (-1)次元の圏と論理 (2017年) 高次圏： 複雑さの2つの方向と半厳密性 (2018年) 圏のサイズと緩さと豊穣圏 (2023年) 「空間」という言葉言葉…

…、コンピュータッド、ストリング図 「 コンピュータッドとそのモデル： 同義語・類義語のジャングル」に書いたように、「コンピュータッド」にはたくさんの同義語〈別名〉があります。それらの同義語のなかで、「コンピュータッド」という呼び名はあまりポピュラーではなくて、概念のプロモーション上は「グラフ」と呼んだほうがいいかな -- と最近思ったりします。実際、1-コンピュータッドは有向グラフそのものです。2-コンピュータッドも2-グラフ〈2-graph〉と呼ぶことにします。今回は3次元…

…2次元または3次元のストリング図やペースティング図が使われます。この状況で、「上下」「左右」「前後」などの意味が曖昧だと、コミュニケーションが破綻してしまいます。ハッキリした約束が必要なのです。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} } \newcommand{\op}{ \mathrm{op} } \newcommand{\In}{\text{ in }} \newco…

…、コンピュータッド、ストリング図 ここでの指標 $`\Sigma`$ は、集合 $`A`$ と“モノイド向けの等式”の集合 $`E`$ のペア $`(A, E)`$ です。$`E`$ は次の条件で記述できます。$`\quad E \subseteq \mrm{List}(A)\times \mrm{List}(A)`$$`E`$ は空集合でもかまいません。$`\Sigma = (A, E)`$ は、例えば次の構文で記述できます。$`\text{signature }\Sigm…

…L, F_R`$ をストリング図で描けば次のようです。描画方向は上から下、左から右です。背景エリアのラベル（$`\o{X}, A`$）は省略しています。このままでは、射の結合の描画が難しいので、$`F_L`$ は上から下、$`F_R`$ は下から上に変更します（左右の反転はしません）。次のようになります。さて、スパンのあいだの射 $`F:X \to Y`$ と $`G:Y \to Z`$ を結合するとします。2-圏 $`\cat{K}`$ 内のペースティング図に展開すると、次…

…l g')`$絵算（ストリング図の計算）でやります。下段の $`f;f'`$ と $`g;g'`$ がカップリング可能であるためには、 $`\quad \mrm{Mix}(f;f') = \mrm{Proj}(g; g')`$ が成立している必要があります。これを確認します（以下）。状態のワイヤーを示す横棒の痕跡は気にしないでください。これで、$`(f;f')\coupl ( g;g')`$ が定義可能なのは大丈夫です。問題は、縦に集計した値と横に集計した値が一致するか？ で…

…$内容： デカルト・ストリング図と経路行列の方法 修正ミックス操作 環境付き計算ペアのカップリング 演算達が出揃った ハブ記事： 環境付き計算と依存アクテゴリー 1/n デカルト・ストリング図と経路行列の方法「環境付き計算と依存アクテゴリー 1/n」を一瞥すれば分かるように、デカルト圏における計算には絵算〈ストリング図の計算〉をヘビーに使っています。（少なくとも僕は）テキスト数式の計算ではとても手に負えないです。$`\cat{C}`$ をデカルト圏〈デカルト・モノイド圏〉とし…

…の結合と恒等射は次のストリング図のように定義します。 射の向きは上から下。 箱の上側左のワイヤーが環境、右のワイヤーが入力、下のワイヤーが出力。 オレンジ色の横向き破線は結合を表す。 オレンジの色の枠は、構成された射を表す。 黒い二股分岐は対角射〈コピー射〉、黒い小さな下向き三角形は終射〈削除射 | 破棄射〉。 こうして定義された射の結合と恒等射が、結合法則と左右の単位法則を満たすことは以下の絵等式（ストリング図のあいだの等式）から分かります。オレンジ色の枠はテキスト数式の括…

…のことです。随伴系をストリング図とストリング図描き換え〈ストリング図書き換え〉として表すと次のようです。 0-射は、バッテン（文字エックスではなくてエリア） 1-射は、ワイヤー 恒等1-射は、黒点線ワイヤー 2-射は、ノード 恒等2-射は、黒点線輪郭のノード 3-射は、ストリング図の描き換え〈変形〉 「アドホック随伴系と自由対象・台対象」に、ペースティング図と指標もあります。随伴系 $`A`$ を圏 $`\AdjII{1}{L}( \cat{K} )`$ の1-射とみなしたも…

…ポアンカレ双対であるストリング図で描くほうが分かりやすいです*7。 モノイドのあいだの準同型射〈モノイド射〉も定義できます。二重圏 $`\dblcat{D}`$ 内のモノイド達とそのあいだのモノイド射の全体は圏を形成します。この圏を $`\mrm{Mon}(\dblcat{D})`$ とします。2-圏では、同様な構造をモナド〈monad〉と呼びます。2-圏を二重圏に埋め込むと、2-圏のモナドは二重圏のモノイドになります。「モノイド」「モナド」という呼び名の違いは単に歴史的経緯…

…いてあります。 層化ストリング図 // 裏返し反変関手 反対圏と反変関手はややこしい 状態遷移系としての前層・余前層・プロ関手 // 捻じれ対のテキスト表示と図示 両側、左、右からの遷移系双遷移系とそのあいだの準同型写像については以下で述べています。ここでは繰り返し述べません。 双遷移系達の3次元の圏 // 双遷移系 双遷移系達の3次元の圏 // 双遷移系の準同型写像 モノイド $`M, N`$ を固定して、すべての $`(M, N)`$-双遷移系とそのあいだの準同型写像を考…

…ペースティング図からストリング図へ 最良のコスパン・フィラー 1-圏の2-射通常の圏〈1-圏〉にも2-射はあります。1-圏の2-射とは、射のあいだの等式のことです。$`f, g : A \to B`$ が圏 $`\cat{C}`$ の2つの射だとして、$`f`$ から $`g`$ への2-射は次の等式です。$`\quad f = g \;: A \to B \In \cat{C}`$「$`f`$ と $`g`$ が等しい」ことに $`\alpha`$ という名前を付けて、向き…

…双対をとると、以下のストリング図になります。どのような図法・レイアウトで描こうが、二重圏におけるニッチの充填問題を記述していることに変わりはありません。さて、所与フレーム〈given frame〉と未知項〈unknown〉を色を使って区別する代わりに、疑問符付きのラベルで未知項を表すことにしましょう。$`\quad \xymatrix{ A \ar@{-->}[r]^{p?} \ar[d]_{f} \ar@{}[dr]|{\phi?\,\Downarrow\:} &C \ar…

…ィング図の縦方向は、ストリング図では横方向になります（ディビッド・ジャズ・マイヤースのように、90度回転して揃えようとする人もいます）。「縦横」を使い続けるのは得策じゃないな、と僕は判断しました。プロ射〈proarrow | promorphism〉という言葉は浸透していて安定しているので、縦横ではなくてプロ射の方向〈promorphism direction〉、あるいは短くプロ方向〈pro-direction〉と呼ぶことにします。プロ射ではない1-射は、アーカー／マクダルメ…

…ィング図の充填問題 ストリング図で描くと ペースティング図の充填問題以下は「カン拡張／カン持ち上げと上ホム対象／下ホム対象、充填三角形」で出した右カン拡張に関わるペースティング図です。これを見てすぐ「なるほど確かに右カン拡張だ」と判断できる人もいるでしょうが、図の描き方（ペースティング図かストリング図か）や描画方向・レイアウトが変わると戸惑うこともあるでしょう。見た目が違う図を構造的に同じだと判断するのはけっこう難しい作業でトレーニングが必要です（以下の過去記事参照）。 双対…

…11189 二重圏のストリング図に関する以下の論文で、ディビッド・ジャズ・マイヤースも同様な記法 $`\cat{D}(F, 1)`$ を使っています。 [Mye16-18] Title: String Diagrams For Double Categories and Equipments Author: David Jaz Myers Submitted: 8 Dec 2016 (v1), 2 Mar 2018 (v4) Pages: 33p URL: https://a…

…。ペースティング図／ストリング図の射の並びや結合をテキストに書き出すときの順番のことです。これも人により場合によりバラバラです。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\In}{\text{ in }} \newcommand{\dcat}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\hyp}{\text{－} } \newcommand{\NFProd}[3]{ \mathop{_{#1} \!\un…

…を縦にとっています。ストリング図にすると、ポアンカレ双対でプロ射が横方向のワイヤーになります。ストリング図ワイヤーとして横方向に描かれたプロ射を、マイヤースは「横射」と呼んでいます。結果的にプロ射が横射です。 [Mye16-18] Title: String Diagrams For Double Categories and Equipments Author: David Jaz Myers Submitted: 8 Dec 2016 (v1), 2 Mar 2018 (…

…の補題 米田の補題とストリング図 $`\mrm{Nat}(\hyp, \hyp)`$ は関手圏 $`[{\bf Set},{\bf Set}]`$ のホムセットの略記です。したがって、$`\mrm{Nat}(\hyp, \hyp)`$ の左側引数の余極限は、極限として外に出せます。$`\quad \mrm{Nat}(\mrm{colim}_\cat{I}\, D, G) \cong \mrm{lim}_\cat{I}\, \mrm{Nat}(D(\hyp), G) \In {…

…ta'`$ だけ絵（ストリング図）に描くと次のようです。$`\msc{A}*\msc{A'}`$ が、随伴系の等式的法則〈公理〉であるニョロニョロ法則〈snake {law | relation | equation | identity}〉を満たすことも簡単に示せます。さらに、随伴系達は横結合で圏になります。恒等は次の自明な随伴系です。$`\quad \msc{I}_A := \big(\, (\mrm{id}_A:A \to A) \dashv (\mrm{id}_A :…

…}`$ です。「層化ストリング図 // 裏返し反変関手」で導入した $`\mrm{Rev}`$ を使うと：$`\mrm{Rev}_M : M \to M^\op\\ \For a, b \in \u{M}\\ \quad \mrm{Rev}_M(a\cdot b) = \mrm{Rev}_M(b) \o{\cdot } \mrm{Rev}_M(a) `$$`\mrm{Rev}_M`$ は、写像としては単なる恒等写像です。$`\mrm{Rev}_M`$ は通常の意味の関手（ある…

…の補題 米田の補題とストリング図 大域米田の補題 表現可能な関手$`F:\cat{C}^\op\to {\bf Set}`$ を前層（反変関手）として、次のような自然同型（関手圏における同型）が成立するとき、前層 $`F`$ は表現可能〈representable〉であるといいます。$`\text{For some }A \in |\cat{C}|\\ \quad よ^A \cong F \In [\cat{C}^\op, {\bf Set}] `$対象 $`A\in |\c…

…反変関手と、2-圏のストリング図 // 反対圏の対象と射のテキスト表示」で次のように書きました。 定義上は、$`\cat{C}`$ の対象・射と $`\cat{C}^\op`$ の対象・射はまったく同じです。 $`\mrm{Obj}(\cat{C}) = \mrm{Obj}(\cat{C}^\op)`$ $`\mrm{Mor}(\cat{C}) = \mrm{Mor}(\cat{C}^\op)`$ したがって、$`A\in |\cat{C}|`$ なら $`A\in |\ca…