…モノイド関手は色々 ストリング図とストライプ図 演繹系とオペラッド 呼び名の約束内容的な説明をする前に、「セオリー」で混乱してしまうことを回避するために、次の約束をします。 ローヴェア・セオリーはある種の圏なので、ローヴェア圏〈Lawvere category〉とも呼びます。「ローヴェア圏〈ローヴェア・セオリー〉」とか「ローヴェア・セオリー〈ローヴェア圏〉」とかの書き方も使います。 ローヴェア圏は、それ以前から論理や普遍代数で使われていた等式的代数指標〈equational …

…関連する過去記事： ストリング図とテンソル計算： クソバカ丁寧編 テンソルの結合〈合成〉テンソル（射や複射や多射）の結合〈合成 | composition〉は縦方向、上から下に描きます。結合法則〈associative law〉、左単位法則〈left unit law〉、右単位法則〈right unit law〉は以下のとおり。黒丸〈ドット〉は恒等〈identity〉です。テンソル〈射／複射／多射〉のプロファイルを以下のように設定します。$`\quad f: A \to B\…

ストリング図はボックス＆ワイヤー図とも呼ばれます。「ボックス」の意味はちょっと曖昧です。「バエズ／ドーラン・ツリー： 色々な描画法」で、かなりクリアになったと思います。「注意点のまとめ」に曖昧性についても書いてあります。ストリング図の「ボックス」は、円板表示における次のどれかになるでしょうが、どれだかハッキリしないことがあるのです。 円板〈disc | disk〉： 図を描くキャンバスに使う板、2次元の図形。 穴〈hole〉： 円板の境界円周（1次元の図形）のなかで、円板の内…

ストリング図を描く際に、ボックス〈ノード〉は基本的かつ重要な描画要素です。絵に描いたボックスに対応する組み合わせ構造はいったい何なのでしょう？ ボックスは、色付きコレクションの視覚化なのだとみなすのが良さそうです。なので、この記事では色付きコレクションについて述べます。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\pipe}{\mid } \newcomm…

…広がりをゼロにして）ストリング図にする技法も紹介しています。昨日の記事とこの記事では、描き方が多少違うところもあります。以下はその例です。波線＋ノードも二重線＋ノードも、どちらも生の2-自然変換です。この記事は最初に書いた時点からほとんど変更していません。そのため、後から追加した「生の2-関手と生の2-自然変換」との連携があまりとれてません。あしからず。射と変換手通常の圏〈1-圏〉は対象と射を持ちます。圏のあいだに関手があり、関手のあいだに自然変換があります。圏の次元が、2-…

…変換 ストライプ図とストリング図 生の◯◯◯ → ？ 2-圏$`\cat{K}, \cat{L}`$ などは（必ずしも厳密とは限らない）小さい2-圏だとします*1。次の約束をします。 2-圏 $`\cat{K}`$ の対象〈0-射〉の集合を $`|\cat{K}|`$ と書く。$`|\cat{K}|`$ の要素〈対象 | 0-射〉は、ラテン文字小文字 $`a, b`$ などで表す。 2-圏 $`\cat{K}`$ の射〈1-射〉の集合を $`|\cat{K}|_1`$ と書く…

…`$ワイヤリング図〈ストリング図〉に描くと1本のワイヤーに対応するからです。ワイヤーペアでは、次のどちらかまたは両方が成立します。 $`\gamma_P(a) \ge 0`$ $`\gamma_P(b) \ge 0`$ $`\gamma_P(a) \ge 0`$ が成立するワイヤーペアを $`(a \leadsto b)`$ と書くことにします。$`\gamma_P(b) \ge 0`$ が成立するなら $`(b \leadsto a)`$ です。両方とも成立するときは $`…

… 1 半グラフ 無向ストリング図 無向ワイヤリング図 2 有向半グラフ ストリング図 有向ワイヤリング図 3 ワイヤリング図（無向・有向のどちらか） 4 ワイヤリング図（無向も有向も） 横方向の行ごとの説明は： ワイヤーに向きがない場合。単に「半グラフ」と言ったら、ワイヤーに向きはありません。 ワイヤーに向きがある場合。単に「ストリング図」と言ったら、ワイヤーに向きがあります。 デフォルトとして、無向または有向だと約束している場合。 デフォルトの約束がない場合。単に「ワイヤリ…

… ワイヤーの向き（タチの良いポート極性から誘導される） ポート型〈ポート色〉 ポート達のあいだの全順序 そしてそれからスケマティック圏は、ストリング図類似の絵を描く場所です。具体的なスケマティック圏を定義すると、そのなかで描ける絵図の種類が決まります。特定のスケマティック圏を固定したとき、そこで描ける絵図の全体はどんな構造と機能を持つか？ は興味深い問題だし、実用性もあります。前節最後に述べたような構造を載せたスケマティック圏を具体的に構成することがまずやるべきことでしょう。

…トとワイヤーを描くとストリング図〈ワイヤリング図〉になります。次の図は、スピヴァック〈David I. Spivak〉のスライド "Wiring diagrams and state machines" からコピーしたもので、入れ子の四角形にポート（四角形とワイヤーの交点）と有向ワイヤーを描いています。さて、「テンソルの可視化のための半グラフ // 半グラフの幾何的・位相的な定義」では半グラフを幾何的に導入しました。その後で組み合わせ構造としての半グラフを定義しました。オペラ…

…す。 半グラフ 無向ストリング図 無向ネットワーク 極性付き半グラフ 有向半グラフ ストリング図 有向ネットワーク ちなみに、極性〈polarity〉の同義語には次があります。 符号〈sign〉 偶奇性〈parity〉 電荷〈charge〉 したがって、「符号付き半グラフ」は「極性付き半グラフ」の同義語になります。幾つかの同義語があると、複合語の同義語の個数は組み合わせ爆発を起こすので（「用語のバリエーション記述のための正規表現」参照）、イチイチ列挙はしません。半グラフの直和…

…フを使いたいのです。ストリング図はその目的で使えますが、ストリング図は基本的に有向グラフです。場合により無向グラフが必要なのです。ストリング図の無向グラフ版として半グラフが使えます。この記事では、今後の使用のために、半グラフの定義をひとつに決めます。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\twoto}{\Rightarrow } \newcomman…

…ける定義や計算では、ストリング図を描くことを強くオススメします。例えば、State構成における結合の定義はひどく複雑に見えますが、ストリング図を描けばどうってことない定義だと分かります。Span構成 与えられる圏 圏 $`\cat{C}`$ はファイバー積〈プルバック | 引き戻し〉を持つとします。話を簡単にするために、モノイド積としての直積 $`\times`$ も持つとします（つまりデカルト・モノイド圏）。終対象はモノイド単位になり、終対象を余頭部〈cohead〉とするコ…

…一見複雑そうですが、ストリング図で見ればそうでもありません（というか、ストリング図描かないと間違えます）。$`\For (S, f):A \to B, (T, g): B \to C \In \cat{D}\\ \Define (S, f);(T, g) := (T\otimes S, h )\\ \Where h := (\, \\ \quad \alpha_{T, S, A}; (\id_T \otimes f);(\id_T \otimes \sigma_{S, B})…

…式は、次のような絵〈ストリング図〉に描けます。描画方向は上から下、左から右です。「米田の補題と左カン拡張」で書いたように、とある構造／系をカン拡張のフレームワークで表すとは、一般論と事例で使われている記号ラベルのあいだのパターンマッチングをすることです。以下に、記号ラベルの当てはめ〈パターンマッチング〉を一覧表で示します。一般論が左カン拡張で、事例が随伴系です。 $`\text{一般論}`$ $`\text{事例}`$ $`\text{事例への備考}`$ $`\cat{C}`…

…めに、柱体と余柱体のストリング図を併用するといいでしょう。以下は、柱体に対応するストリング図です。描画方向は上から下／左から右です。ストリング図の描き方については次の記事にまとめてあります。 圏論の随伴をちゃんと抑えよう： お絵描き完全解説 （「カン」とは限らない）右拡張〈right extension〉とは、圏 $`\cat{E}`$ 内に描かれた柱体（と呼ばれる構造）であり、右カン拡張は右拡張の圏の終対象のことです。したがって、右カン拡張も柱体（＝ 右拡張）の特別なもので…

…モデルです。 *2:ストリング図内では、僕は自明圏として $`\unicode{x2606}`$ をよく使っています。 *3:趣味的とも言えますが、構造を指標で記述する場合や、ストリング図を描く場合は、単一のターゲット圏のなかに構造を配備するほうが扱いやすいです。 *4:僕の感覚では、関手が対象で表現されるのではなくて、対象が（米田埋め込みを通じて）関手により表現されるのだと思うのだけど ‥‥ まー、言ってもしょうがない。 *5:共変バージョンなので余米田写像と呼ぶほうがいい…

…います。同様なことをストリング図（描画方向：上から下、左から右）で表すと以下。バッテンは文字エックスではなくてエリアを意味する印です、ちょっと紛らわしかった。恒等射は黒点線ワイヤーまたは黒点線輪郭のノードです。3-射はストリング図の描き換え〈変形〉で表しています。絵図ならば名付けの憂鬱から開放されます。なぜなら、絵図のなかの構成素は「これ」とゆび差して直示〈ちょくじ〉できるからです。‥‥ ということは、ゆび差し可能な対話環境でないと使えない。そうです、対面〈face to f…

…うは、（僕は）うまくストリング図が描けなくて毎回行き詰まります。なので、やりません（うまくいったら報告するかも）。 ストリング図を使って計算する方法は思いつきません。うまくいってないです。もうしょうがないので、等式的な計算を使います。与えられた自然性を表す可換図式から要素を追いかけて等式を絞り出して。連立の等式から目的の自然性等式を得る方法です。面白くないし、絵図的直感は効かないです。ムーッ（不満）。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \n…

…反転させます。「層化ストリング図 // 裏返し反変関手」で導入した記法を使うと：$`\For F\in [\cat{C}, \cat{D}]^\pm\\ \quad {^\mrm{rev} F} := \bs{\Phi}(F) = \mrm{Rev}_{\cat{C}^\op} * F \;\in [\cat{C}^\op, \cat{D}]^\pm\\ \quad { F^\mrm{rev}} := \bs{\Psi}(F) = F * \mrm{Rev}_{\cat{D}…

…反変関手と、2-圏のストリング図」において、我々が通常「反変関手」と呼んでいるものは、実際は共変関手であると言いました。 反変関手 $`F:\cat{C} \overset{-}{\to} \cat{D}`$ の代わりに、反対圏からの関手を使います。そして、代理である反対圏からの関手を「反変関手」と呼んでしまうのです。 小さい圏の2-圏 $`{\bf Cat}`$ や、大きい（小さいとは限らない）圏の2-圏 $`{\bf CAT}`$ のなかには、反変関手は存在しません。反変…

…反変関手と、2-圏のストリング図 // 反変関手」参照）と $`よ`$ は同一視することにして、いちいちチルダを乗せるのはやめます。また、記法をスッキリさせるために、次のように約束します。（$`\YY`$ も米田〈Yoneda〉から。） $`{^\cat{C}\YY}(\hyp, \hyp) := \cat{C}^\wedge(よ^\hyp, \hyp) : \cat{C}^\op \times \cat{C}^\wedge \to {\bf Set}`$ $`{^\cat{…

…） 三番目の用法は、ストリング図において次の形で多用されます。（例えば、「絵算をはじめた人への注意」参照。）$`\quad \xymatrix{ A \ar@{-}[d] & F \ar@{-}[d] \\ (f) \ar[d] & (\alpha) \ar[d] \\ B & G }\\ f.\alpha : A.F \to B.G `$ストリング図内で、エレベーター法則でノードを上下スライドさせてもいいことは、等式（ストリング図書き換え）としての $`f.\alpha`$…

…ょう。「米田の補題とストリング図」で述べた手法が使えます。 このテの計算に絵算は使えるし、実際に僕は絵算を使っています。テキストで記述・計算するより、ずっと見通しがいいと思います。が、ややこしい問題もあります。ストリング図のワイヤーに向きを付けるとき、どんな約束にするか？ -- これ、ややこしい。通常は、キャンバスの描画方向を決めておくだけでいいのですが、反対圏／反変関手が出てくると、状況は単純ではなくなります。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{…

…に混乱します。「層化ストリング図 // 裏返し反変関手」で導入した裏返し反変関手〈reversing contravariant functor〉を使って説明します。関手 $`F`$ が共変関手、$`G`$ が反変関手であることを次のように表すことにします。$`\quad F:\cat{C} \to \cat{D} \text{ (covar)} \In {\bf CAT}\\ \quad G:\cat{C} \to \cat{D} \text{ (contravar)} \…

…で紹介しています。 ストリング図とストリンググラフ、何が違う？ 上記過去記事に幾つかの参考文献を挙げていますが、ひとつだけ引用すると： [KMS12-14] Title: Pattern graph rewrite systems Authors: Aleks Kissinger, Alex Merry, Matvey Soloviev Submitted: 30 Apr 2012 (v1), 1 Apr 2014 (v3) Pages: 13p URL: http://ar…

…味があれば： 絵算（ストリング図）における池袋駅問題の真相 双対や随伴に強くなるためのトレーニング 対称モノイド圏 $`\cat{C}`$ がダガー $`(\hyp)^\dagger`$ を持つとき、次の条件を加えると、ダガー特殊可換フロベニウス代数〈dagger special commutative Frobenius algebra〉の公理になります。$`\quad \Delta^\dagger = \nabla\\ \quad \bot^\dagger = \top …

…を粗視化して眺めたいときです。具体的な詳細や一部の構造を捨ててしまえば、演繹系の枠組みで捉えられることは多いでしょう。 *1:生成系がやせていても、それから生成された複圏〈オペラッド〉がやせている（複ホムセットが単元集合か空集合）とは限りません。 *2:この条件は、スパンに対する jointly monic 条件です。 *3:証明ツリーは、有向辺が項でラベルされ、頂点〈ノード〉がステップでラベルされたツリーです。このツリーは、オペラッドのストリング図をみなすのがよいでしょう。

…の補題「米田の補題とストリング図」の最後のほうで、「米田の補題の補題」として次の絵図等式〈{graphical | pictorial} equation〉を挙げました。この絵で： ワイヤーの方向はどこでも上から下 '☆' は、単一対象と恒等射だけの自明な圏 斜線網掛けは、集合圏 $`{\bf Set}`$ 点線は、単元集合（集合圏の終対象） $`{\bf 1}`$ のポインティング関手 $`\quad {\bf 1}^\sim : ☆ \to {\bf Set} \In {…

「層化ストリング図」では、"layer"を「層」としたのですが、「層」は"sheaf"の翻訳語であり、トラブルの原因になりそうなので「層」から「レイヤー」に変更します。ただし、過去の記事は変更しません*1。で、レイヤー化ストリング図〈layered string diagram〉ですが、これは余インデックス付き圏／インデックス付き圏のトータル圏（「最近の型理論： 拡張包括構造を持ったインデックス付き圏」の最初の節参照）の対象・射・等式の描画に有効です。この記事で描画法をもう少…