…]}`$$`y`$（米田不定元）については、以下の過去記事を参照してください。 米田テンソル計算 3： 米田の「よ」、米田の星、ディラックのブラケット 再論 // スピヴァックの指数記法 スピヴァックの指数記法（米田不定元） 今のところ、$`\P_A`$ は定義してますが、ファミリーのあいだの射 $`\psi`$ に対する $`\P_\psi`$ は定義してないので、$`\P_\hyp`$ は関手ではありません。次のような写像です。$`\quad \P_\hyp : |{\b…

…う問題になります。「米田埋め込み、米田拡張、そして米田モナド // サイズの問題とフレイド／ストリートの定理」で紹介したフレイド／ストリートの定理によれば（$`\trg{C}`$ が局所小を前提として）： $`[\cat{I}^\op, \trg{C}]`$ が局所小圏 ⇔ $`\trg{C}`$ が小さい圏と圏同値 インデックス付き圏達の圏が局所小圏になるためには、ターゲット圏 $`\trg{C}`$ が局所小圏という条件だけでは不十分で、小さい圏と圏同値（本質的に小さい圏…

…w } `$内容： 米田埋め込みと米田の補題 表現可能な関手 普遍構成と普遍性 終対象と始対象 直積と直和 等化子と余等化子 核と余核 極限と余極限 可換環の局所化 モノイドの台集合 米田埋め込みと米田の補題$`\cat{C}`$ は局所小圏として、$`\cat{C}`$ を前層の圏 $`[\cat{C}^\op , {\bf Set}]`$ に埋め込む米田埋め込み〈Yoneda embedding〉があります。$`\quad {^\cat{C}よ} : \cat{C} \t…

…向で考えてみたのが、米田テンソル計算です。以下の過去記事が第一回兼ハブ記事になっています。 米田テンソル計算 1： 経緯と発想 前層・余前層・プロ関手では、関手の余域は集合圏 $`{\bf Set}`$ に固定しています。この場合の集合圏は、行列・テンソル計算におけるスカラー環のような役割を持っています。スカラーを変更すれば、計算体系は変わってきます。集合圏の代わりに次のような圏を“スカラーの圏”に採用する案があります。 アーベル群〈可換群〉と群の準同型写像の圏 $`{\bf…

…字の $`y`$ は米田不定元で、集合〈対象〉も関数〈射〉も代入できる形式的変数です（「スピヴァックの指数記法（米田不定元）」参照）。$`y`$ を含んだ多項式形式は関手を定義します。$`\widehat{\cat{D}}^{(n)}`$ は $`n`$ ごとに定義されます； $`\widehat{\cat{D}}^{(0)}`$、$`\widehat{\cat{D}}^{(1)}`$、$`\widehat{\cat{D}}^{(2)}`$ などです。実際に重要なのはこの3つ…

…t{－} }`$ 「米田テンソル計算 3： 米田の「よ」、米田の星、ディラックのブラケット 再論 // 米田の星と米田埋め込み」で次のように書きました。 米田埋め込み／余米田埋め込みを、「米」を上下に付けて表す記法も我々は使います。 $`a^{米} := よ^a = \cat{C}(-, a)`$ 米田埋め込みの値 $`a_{米} := よ_a = \cat{C}(a, -)`$ 余米田埋め込みの値 最近は余米田埋め込みのほうは $`よ^\vee_a`$ のように書いてます。…

…ードパラグラフは、「米田の補題と左カン拡張」のそれと同じテンプレートです。意図も同じです。随伴系についてあらためて説明する記事ではなくて、「カン拡張を事例で理解しよう」の事例として随伴系を使います。「米田の補題と左カン拡張」の続きだと思ってください。右カン拡張 $`\mrm{Ran}_K F`$ と 左カン拡張 $`\mrm{Lan}_K F`$ は、次のような自然なホムセット同型によって定義されました。$`\For K:\cat{C} \to \cat{D} \In {\b…

米田の補題は既に知られているとして、米田の補題を左カン拡張の枠組みで解釈できるでしょうか？ できます。やってみます。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\twoto}{\Rightarrow } \newcommand{\In}{\text{ in } } %\newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow } \newcomma…

…a`$ と置きます。米田の補題から、$`\quad \lambda\in \Phi(L) = \cat{C'}(F, U(L) ) = [\cat{C}, \cat{E}](F, K*L)`$書き方を変えれば：$`\quad \lambda :: F \twoto K*L : \cat{C} \to \cat{E} \In {\bf CAT}`$左カン拡張を構造／系と考えたときの記号ラベルと役割り名は次のようになります。 記号ラベル 役割り名 備考 $`\cat{C'}`$ …

米田の補題から言えることのひとつに、「自然変換はそんなに多くはない」ことがあります。2つの関手 $`F, G`$ のあいだの“すべての自然変換”というと、初見では、そもそも通常の集合〈小さい集合〉になるのかさえ不安ですが、たいていは通常の集合として記述可能です。具体的な事例においては、2つの関手のあいだの自然変換が有限個しかなくて、完全に列挙できることもあります。そんな事例を紹介します。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcomma…

…F(A)`$これは、米田写像 $`{\bf y}`$ （下）による値を計算しただけです。米田写像（米田の補題に登場する同型写像）は可逆なので、$`a`$ から $`\varphi`$ を計算することもできます。$`\quad {\bf y}: [\cat{C}^\op , {\bf Set}](\cat{C}(\hyp, A), F) \to F(A) \In {\bf Set}\\ \For \alpha \in [\cat{C}^\op , {\bf Set}](\cat…

…て、共変バージョンの米田の補題（のインスタンス）を書いてみると：$`\quad [\cat{D}, {\bf Set}](\cat{D}(W, \hyp), G) \cong G(W) \In {\bf Set}`$この同型（左から右）は、米田写像〈Yoneda map〉 $`{\bf y} = {\bf y}[W, G]`$ で与えられます。$`\quad {\bf y}: [\cat{D}, {\bf Set}](\cat{D}(W, \hyp), G) \to G(W)…

…いう記法については「米田テンソル計算 3： 米田の「よ」、米田の星、ディラックのブラケット 再論 // スピヴァックの指数記法」で紹介しました。$`y^\hyp`$ は余米田埋め込みのことです。$`I`$ を集合として、$`I`$-項の多項式関手は次のように書けます。$`\quad \sum_{i\in I} y^{A_i} \;:{\bf Set} \to {\bf Set} \In {\bf CAT}`$総和は余極限の一種です。集合 $`I`$ を離散圏とみなした小さい圏…

ここ最近、米田の補題に関連する記事を幾つか書いています。 07-06 大域米田の補題 07-11 関手・自然変換のカリー化 07-13 前層を特定対象で評価する関手の表現 07-20 反対圏と反変関手はややこしい 07-21 高階関手の計算： 米田と淡中の周辺 動機はなんなのかと言うと； 淡中再構成〈Tannaka reconstruction〉を、米田の補題の直接的で簡単な応用として記述したい、ということです。米田の補題を知っていれば、（古典的・初等的な）淡中再構成は当たり…

…記述）であり、「大域米田の補題」の敷衍にもなっています。例えば、この記事で導入する記法を使うと、大域米田の補題は次のように書けます。$`\quad よ^\vee[\widetilde{よ}] \cong た`$'$`よ`$' は“米田の「よ」”、'$`た`$' は“淡中の「た」”です。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\o}[1]{\overli…

大域米田の補題などを扱う場合は、関手や自然変換の向きに注意する必要があります。向きをどんな約束で決めているか、向きが保存されるか／変更されるかをちゃんと追跡しないと混乱します。向きの約束や保存／変更の法則は、様々な要因が絡んできて思いのほか複雑です。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\o}[1]{\overline{#1}} \newcomman…

大域米田の補題を使った計算練習をしてみます。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} %\newcommand{\Imp}{ \Rightarrow } \newcommand{\In}{ \text{ in } } \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\hyp}{\te…

昨日の記事「大域米田の補題」において、大域米田の補題に関する計算について、次のように書きました。 テキストで計算していると何がなんだかワケワカメになることがあるので、絵算〈{pictorial | graphical} calculus〉を利用するのが得策でしょう。「米田の補題とストリング図」で述べた手法が使えます。 このテの計算に絵算は使えるし、実際に僕は絵算を使っています。テキストで記述・計算するより、ずっと見通しがいいと思います。が、ややこしい問題もあります。ストリング…

通常、米田の補題と呼ばれている定理は局所的〈local〉、あるいは点ごと〈point-wise〉の主張です。もっと広範囲・大規模な構造に関する主張も言えます。その広範囲・大規模な主張を、ここでは大域米田の補題〈global Yoneda lemma〉と呼んでおきましょう。大域米田の補題を述べる諸々の準備をして、その主張を記述します。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} %\newcommand{\Imp}{ \Rightarrow } \n…

…p}} `$内容： 米田関連の記法 前層の表現ペアと表現ペアその2 前層の要素の圏 前層の要素の圏の終対象 終対象から表現ペア 表現ペアから終対象 極限の場合 米田関連の記法「米田埋め込みの書き方（色々ありすぎ）」で述べたように、米田埋め込み／米田の補題に関連する記法は色々あるので、どれを使うか決めておきます。米田埋め込みは米田の「よ」を使いますが、「双線形写像集合関手の表現可能性とテンソル積の普遍性」と同様に、ロージエン〈Fosco Loregian〉とロマン〈Mario …

…遍元とベータ等式 逆米田写像 反変関手の表現可能性と指数対象$`\cat{C}`$ をデカルト圏とします（より一般的なモノイド圏でも同じ議論ができます）。2つの（同一でもかまわない）対象 $`A, B\in |\cat{C}|`$ を選んで次の反変関手を考えます。$`\quad E_{A, B} := \cat{C}(\hyp \times A, B) : \cat{C}^\op \to {\bf Set} \In {\bf CAT}`$もし、この関手が表現可能で、$`R`$…

…ow} `$内容： 米田の「よ」 双線形写像集合関手 ベクトル空間のテンソル積 普遍元としての構造射 普遍元の生成力と米田の補題 米田の「よ」最初に米田埋め込みの記法を決めておきます。「米田埋め込みの書き方（色々ありすぎ）」に書いたように、色々あるのですが、ロージエン〈Fosco Loregian〉とロマン〈Mario Román〉の折衷案のような記法を使うことにします。 ハイフン記法 「よ」記法 $`\cat{C}(\hyp, B)`$ $`{^\cat{C}よ}^B`$ …

「米田埋め込みの書き方（色々ありすぎ）」において、米田埋め込みの記法がたくさんあることを紹介しました。別名／別記法の氾濫は、鬱陶しくて面倒な事ですが、メリットもあります。それは、用途・場面に応じて適切な呼び名と記法が選べることです。今言った「適切さ」は、メンタル／エモーショナル、あるいは認知的な「適切さ」です。だって、別名／別記法の指す対象物〈denotation〉は同一なので、「何を指すか」に違いは無いのですから。もうひとつ、記法には機能性・効率性があります。例えば、「視認…

「米田テンソル計算 3： 米田の「よ」、米田の星、ディラックのブラケット 再論」でも触れたことですが、米田埋め込み／余米田埋め込み／ホムセットの記法が色々ありすぎます。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\hyp}{\text{－}}`$ $`\text{ハイフン記法}`$ $`h\text{記法}`$ $`y\text{記法}\\ \text{上下添字}`$ $`y\text{記法}\\ \text{累乗}`$ …

…$ のような記法を「米田テンソル計算 3： 米田の「よ」、米田の星、ディラックのブラケット 再論 // スピヴァックの指数記法」で紹介しました。指数記法はとても具合がいいです。集合圏以外でも使ったらいいんじゃないでしょうか。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1} } \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1} } \newcommand{\hyp}{\text{－} } \newcommand{\In}{\text{ in…

…のブログの過去記事「米田テンソル計算 1： 経緯と発想 // 関手ボックス」において、コエンド同値関係の説明をしています。 コエンドの具体的構成で使われるコエンド同値関係も、関手ボックスを使って次のように描けます。 絵に続けて、箇条書きで説明も書いています。僕は、これでコエンド同値関係の“完全な説明”になっていると思ってしまう（錯覚）のですが、実際のところ「細かい事まで言わずとも、察して悟れ」スタイルに陥っています。何がダメかと言うと： 関手ボックスに慣れてないと絵の解釈がで…

…藤五郎さんによると、米田の補題は「圏論の大黒柱」だそうです（「圏論番外：米田の補題に向けてのオシャベリ」参照）。どのくらい重要で強力かというと（「米田、米田、米田」より）： the category theorist's joke that "all theorems are Yoneda." ...[snip]... 何でも（"all theorems", "everything"）米田から派生するみたいですよ。 米田はエンド／コエンドも発明し、グロタンディークより先にグロ…

米田の補題をストリング図で描いておくと、米田同型〈the Yoneda isomorphism〉の作り方を忘れないんじゃないかと思います。$`% \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\id}{\mathrm{id} } \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1} } \newcommand{\In}{\text{ in } } \newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow }…

…`$ については、「米田テンソル計算 3： 米田の「よ」、米田の星、ディラックのブラケット 再論 // スピヴァックの指数記法」を参照してください。計算に使う基本的な事項は以下のようなものがあります。 カリー同型： $`\mrm{Map}(A\times B, C) \cong \mrm{Map}(A, \mrm{Map}(B, C) )`$ ラムダ抽象： $`f\in \mrm{Map}(A, B) \Iff f :=: \lambda\, x\in A\{f(x)\;\i…

…次を見てください。 米田テンソル計算 2： 準備 // CD構造と余CD構造 CD圏は対称モノイド圏であるので、対称を $`\sigma`$ と書くことにして、次のように書けます。$`\quad \cat{C} = (\u{\cat{C}}, \otimes, I, \sigma, \Delta, !)`$ここで： $`\u{\cat{C}}`$ はCD圏の台圏、$`\u{\cat{C}}\in |{\bf Cat}|`$ $`\otimes`$ はモノイド圏のモノイド積、$…